Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
© é o círculo , no plano ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , onde . A curva é um círculo definido por no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e então fazer uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como sua borda. A fórmula do teorema é:
Aqui, é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Para a nossa , temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora que temos o rotacional, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja o círculo . Como está no plano , uma escolha natural para é o disco nesse mesmo plano.
O vetor normal para o plano é simplesmente , já que está perpendicular ao plano.

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície :
Então a integral fica:
Isso significa que estamos apenas calculando a área da superfície .

Passo 6

A superfície é um disco de raio , então sua área é:
Á

Resposta

A integral de linha vale .

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Determinar uma representação vetorial das seguintes curvas:
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(b) é o triângulo no plano cujos vértices são e
Considere a função dada por
d) Prove que, para todo no domínio de ,