Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
© F(x, y, z)=(x-y) i+(y-z) j+(z-x) k, C é o círculo x^2+y^2=a^2, a>0, no plano x O y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , onde . A curva é um círculo definido por no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e então fazer uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como sua borda. A fórmula do teorema é:
Aqui, é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . O rotacional Fx = x - y, Fy = y - z, Fz = z - x é dado por:
partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = -1
Para a nossa partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = -1 , temos:
partial Fypartial x = 0, partial Fxpartial y = -1
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F = (0 - (-1))i + (0 - (-1))j + (0 - (-1))k = i + j + k
Então:

Passo 4

Agora que temos o rotacional, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja o círculo . Como está no plano , uma escolha natural para é o disco nesse mesmo plano.
O vetor normal para o plano é simplesmente , já que está perpendicular ao plano.

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície (nabla times F) cdot n = (i + j + k) cdot k = 1 :
integral duplaS 1 , dS
Então a integral fica:
Isso significa que estamos apenas calculando a área da superfície .

Passo 6

A superfície Área = pi a^2 é um disco de raio , então sua área é:
Á

Resposta

A integral de linha vale .

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