Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
©
é o círculo
, no plano
;
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é um círculo definido por
no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e então fazer uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral de superfície sobre uma superfície
que tem
como sua borda. A fórmula do teorema é:
Aqui,
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional
é dado por:
Para a nossa
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora que temos o rotacional, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja o círculo
. Como
está no plano
, uma escolha natural para
é o disco
nesse mesmo plano.
O vetor normal
para o plano
é simplesmente
, já que está perpendicular ao plano.
Passo 5
Vamos calcular a integral de superfície
:
Então a integral fica:
Isso significa que estamos apenas calculando a área da superfície
.
Passo 6
A superfície
é um disco de raio
, então sua área é:
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Determinar uma representação vetorial das seguintes curvas:
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(b) é o triângulo no plano
cujos vértices são
e
(b)
d) Prove que, para todo
no domínio de
,