Determinar uma representação vetorial das seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma representação vetorial das curvas definidas por e . Isso entra no conteúdo de vetores e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar usar parametrizações de curvas e entender como relacionar essas equações em um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação . Essa é a equação de um círculo de raio 1 no plano XY. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usando o ângulo :
onde varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda equação, . Já que expressamos e em termos de , podemos substituir esses na equação de :

Passo 4

Com isso, temos todas as três coordenadas , e em termos de . Para formar a representação vetorial, combinamos essas expressões em um vetor:

Resposta

A representação vetorial das curvas dadas é:

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Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Dadas as funções e , determinar:
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
© é o círculo , no plano ;
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(b) é o triângulo no plano cujos vértices são e