Calcule a integral.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve vetores. O enunciado pede para calcular a integral de um vetor dado pelas componentes no intervalo de até . Para isso, vamos usar as regras de integração de funções vetoriais, que basicamente envolvem integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes. Isso significa que vamos integrar cada parte do vetor individualmente:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A regra básica da integração diz que . Aplicando isso:
Então, a componente vale 4.

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a componente vale -3.

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a :
Então, a componente vale 5.

Resposta

A integral calculada é:

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Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de , quando e é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos .
Calcular as derivadas sucessivas até a ordem indicada:
A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que e satifazem a equação de onda;
A temperatura em um ponto é dada por
onde é medido em metros.
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em ?