Calcule a integral.
(a) integral0^1(16 t^3 i-9 t^2 j+25 t^4 k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve vetores. O enunciado pede para calcular a integral de um vetor dado pelas componentes no intervalo de até . Para isso, vamos usar as regras de integração de funções vetoriais, que basicamente envolvem integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes. Isso significa que vamos integrar cada parte do vetor individualmente:
integral0^1 (16 t^3 i - 9 t^2 j + 25 t^4 k) dt = ( integral0^1 16 t^3 dt ) i - ( integral0^1 9 t^2 dt ) j + ( integral0^1 25 t^4 dt ) k

Passo 3

Vamos começar integrando integral0^1 16 t^3 dt = 16 [ t^44 ]0^1 = 16 ( 1^44 - 0^44 ) = 16 ( 14 ) = 4 em relação a . A regra básica da integração diz que . Aplicando isso:
Então, a componente vale 4.

Passo 4

Agora, vamos integrar integral0^1 -9 t^2 dt = -9 [ t^33 ]0^1 = -9 ( 1^33 - 0^33 ) = -9 ( 13 ) = -3 em relação a :
Então, a componente vale -3.

Passo 5

Por fim, vamos integrar integral0^1 25 t^4 dt = 25 [ t^55 ]0^1 = 25 ( 1^55 - 0^55 ) = 25 ( 15 ) = 5 em relação a :
Então, a componente vale 5.

Resposta

A integral calculada é:
4, i - 3, j + 5, k

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