Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de , quando e é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O que temos aqui é um exercício que utiliza o Teorema do Divergente, que é bem legal para calcular fluxos através de superfícies. No nosso caso, a integral de superfície que queremos calcular é , onde . A superfície que estamos analisando é uma caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , e . Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o divergente do vetor e então integrar isso sobre o volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente é dado por:
onde , e são as componentes do vetor . Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
  1. Para , a derivada em relação a é:
  2. Para , a derivada em relação a é:
  3. Para , a derivada em relação a é:
Agora, juntando tudo isso, temos:

Passo 3

Agora que temos o divergente, vamos integrar isso sobre o volume da caixa. As dimensões da caixa são , e . A integral tripla que precisamos calcular é:
Vamos fazer isso por partes.
  1. A primeira parte é . Isso é uma constante em relação a , então podemos tirar para fora da integral:
    E a integral de é simplesmente:
    Fazendo a integração em primeiro (de a ), temos :
    Então, essa parte se torna:
  2. Agora, vamos para a segunda parte, . Vamos calcular isso:
    Integrando primeiro em relação a , de a , temos:
    Agora, a integral fica:
    Fazendo a integral em :
  3. A terceira parte é . Similar ao que fizemos antes:
    A integral em se torna:
    Assim, temos:
Agora que temos as três partes, vamos juntar tudo:

Resposta

Depois de simplificar isso, a resposta final do fluxo através da superfície é:

Exercícios relacionados

Calcular as derivadas sucessivas até a ordem indicada:
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
a) ;
Calcule a integral.
(a)
A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que e satifazem a equação de onda;