Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S, quando F(x, y, z)=(x y e^2, x y^2 z^3, y e^z) e S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2, z=1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O que temos aqui é um exercício que utiliza o Teorema do Divergente, que é bem legal para calcular fluxos através de superfícies. No nosso caso, a integral de superfície que queremos calcular é integral duplaS F d S, onde F(x, y, z) = (x y e^2, x y^2 z^3, y e^z). A superfície S que estamos analisando é uma caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2 e z=1. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o divergente do vetor F e então integrar isso sobre o volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de F. O divergente é dado por:
nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
onde F1, F2 e F3 são as componentes do vetor F. Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
  1. Para F1 = x y e^2, a derivada em relação a x é:
    partial F1partial x = y e^2
  2. Para F2 = x y^2 z^3, a derivada em relação a y é:
    partial F2partial y = 2xy z^3
  3. Para F3 = y e^z, a derivada em relação a z é:
    partial F3partial z = y e^z
Agora, juntando tudo isso, temos:
nabla cdot F = y e^2 + 2xy z^3 + y e^z

Passo 3

Agora que temos o divergente, vamos integrar isso sobre o volume da caixa. As dimensões da caixa são 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 2 e 0 <= z <= 1. A integral tripla que precisamos calcular é:
integral triplaV (y e^2 + 2xy z^3 + y e^z) , dV
Vamos fazer isso por partes.
  1. A primeira parte é integral triplaV y e^2 , dV. Isso é uma constante em relação a dV, então podemos tirar e^2 para fora da integral:
    e^2 integral triplaV y , dV
    E a integral de y é simplesmente:
    integral0^3 integral0^2 integral0^1 y , dz , dy , dx
    Fazendo a integração em z primeiro (de 0 a 1), temos 1 - 0 = 1:
    integral0^3 integral0^2 y , dy , dx = integral0^3 [y^22]0^2 , dx = integral0^3 2 , dx = 2 cdot 3 = 6
    Então, essa parte se torna:
    e^2 cdot 6 = 6 e^2
  2. Agora, vamos para a segunda parte, integral triplaV 2xy z^3 , dV. Vamos calcular isso:
    integral0^3 integral0^2 integral0^1 2xy z^3 , dz , dy , dx
    Integrando primeiro em relação a z, de 0 a 1, temos:
    integral0^1 z^3 , dz = [z^44]0^1 = 14
    Agora, a integral fica:
    2 cdot 14 integral0^3 integral0^2 xy , dy , dx = 12 integral0^3 integral0^2 xy , dy , dx
    Fazendo a integral em y:
    12 integral0^3 [y^22]0^2 x , dx = 12 integral0^3 2x , dx = 12 [x^2]0^3 = 12 cdot 9 = 92
  3. A terceira parte é integral triplaV y e^z , dV. Similar ao que fizemos antes:
    integral0^3 integral0^2 integral0^1 y e^z , dz , dy , dx
    A integral em z se torna:
    integral0^1 e^z , dz = [e^z]0^1 = e - 1
    Assim, temos:
    (e - 1) integral0^3 integral0^2 y , dy , dx = (e - 1) integral0^3 [y^22]0^2 , dx = 2(e - 1) integral0^3 , dx = 2(e - 1) cdot 3 = 6(e - 1)
Agora que temos as três partes, vamos juntar tudo:
Fluxo total = 6 e^2 + 92 + 6(e - 1)

Resposta

Depois de simplificar isso, a resposta final do fluxo através da superfície S é:
Fluxo = 6 e^2 + 6e - 6 + 92

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