Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
, quando
e
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O que temos aqui é um exercício que utiliza o Teorema do Divergente, que é bem legal para calcular fluxos através de superfícies. No nosso caso, a integral de superfície que queremos calcular é
, onde
. A superfície
que estamos analisando é uma caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o divergente do vetor
e então integrar isso sobre o volume da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente é dado por:
onde
,
e
são as componentes do vetor
. Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
-
Para
, a derivada em relação a é: -
Para
, a derivada em relação a é: -
Para
, a derivada em relação a é:
Agora, juntando tudo isso, temos:
Passo 3
Agora que temos o divergente, vamos integrar isso sobre o volume da caixa. As dimensões da caixa são
,
e
. A integral tripla que precisamos calcular é:
Vamos fazer isso por partes.
-
A primeira parte é
. Isso é uma constante em relação a , então podemos tirar para fora da integral: E a integral deé simplesmente: Fazendo a integração emprimeiro (de a ), temos : Então, essa parte se torna: -
Agora, vamos para a segunda parte,
. Vamos calcular isso: Integrando primeiro em relação a, de a , temos: Agora, a integral fica:Fazendo a integral em: -
A terceira parte é
. Similar ao que fizemos antes: A integral emse torna: Assim, temos:
Agora que temos as três partes, vamos juntar tudo:
Resposta
Depois de simplificar isso, a resposta final do fluxo através da superfície
é:
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas sucessivas até a ordem
indicada:
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
a) ;
a)
Calcule a integral.
(a)
(a)
A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
(a) Mostre que e
satifazem a equação de onda;
(a) Mostre que