Calcular as derivadas sucessivas até a ordem indicada a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas sucessivas da função até a segunda ordem ( ). Isso significa que vamos encontrar a primeira derivada e, em seguida, derivar novamente para obter a segunda derivada. Para isso, vamos usar as regras de derivação básicas e entender como funcionam as derivadas da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada da função arco-tangente é uma fórmula que você pode lembrar ou derivar usando calculo básico. Sabemos que:
Então, a primeira derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Ou seja, precisamos derivar .
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, é mais fácil usar a regra da cadeia. Podemos reescrever como .
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

A segunda derivada de é:

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