Calcular as derivadas sucessivas até a ordem indicada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas sucessivas da função
até a segunda ordem (
). Isso significa que vamos encontrar a primeira derivada e, em seguida, derivar novamente para obter a segunda derivada. Para isso, vamos usar as regras de derivação básicas e entender como funcionam as derivadas da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada da função arco-tangente é uma fórmula que você pode lembrar ou derivar usando calculo básico. Sabemos que:
Então, a primeira derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Ou seja, precisamos derivar
.
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, é mais fácil usar a regra da cadeia. Podemos reescrever
como
.
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A segunda derivada de
é: