Calcular das seguintes funções definidas implicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação onde . O conteúdo que vamos usar aqui é diferenciação implícita. Para achar , precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar as coisas:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo. A derivada de em relação a usa a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito, que é uma fração:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Vamos expandir os termos:
Agrupando os termos com e os termos sem :
Isso simplifica para:

Passo 6

Então, a derivada do lado direito fica:

Passo 7

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 8

Vamos multiplicar ambos os lados por para se livrar do denominador:

Passo 9

Agora, vamos reunir os termos com de um lado:

Passo 10

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 11

Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é:

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