Calcular
das seguintes funções definidas implicitamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é diferenciação implícita. Para achar
, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar as coisas:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo. A derivada de
em relação a
usa a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito, que é uma fração:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Agrupando os termos com
e os termos sem
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 7
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 8
Vamos multiplicar ambos os lados por
para se livrar do denominador:
Passo 9
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Passo 10
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é: