Derive a função.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para derivar a função
. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas em cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como derivar logaritmos com bases diferentes e aplicar a regra da cadeia, além das derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que podemos mudar a base do logaritmo usando a fórmula:
Então, podemos reescrever nossa função
da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
. A constante
fica como fator multiplicativo. Então, aplicamos a derivada do logaritmo natural:
Passo 4
Vamos derivar o argumento dentro do logaritmo. Lembrando que a derivada de
é
. Aqui,
, então:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo de volta na derivada de
:
Podemos simplificar
que aparece no numerador e denominador:
Passo 6
Finalmente, simplificamos a fração:
Resposta
A derivada da função é: