Calcular
das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de
esta definida?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada
das funções paramétricas dadas por:
Para isso, vamos usar a regra de derivação de funções paramétricas, que envolve derivar
e
em relação a
e depois dividir essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Temos . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Aqui, multiplicamos a constante 8 pelo expoente 3, diminuimos o expoente em 1 e multiplicamos pela derivada interna de , que é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
.
Temos
. Aplicando a regra da cadeia novamente:
Aqui, além de multiplicar pela constante e diminuir o expoente, lembramos que a derivada de
é .
Passo 4
Com as derivadas
e
encontradas, aplicamos a fórmula para encontrar
:
Simplificamos os termos comuns e lembramos que .
Passo 5
Por fim, precisamos determinar para quais valores de
a derivada
está definida. Observamos que:
A tangente está definida sempre que
. No intervalo
,
quando
. Além disso, a derivada não está definida nos pontos onde
, que acontecem em
.