Calcular x = 8(cos(t))^3 y = 8(sen(t))^3 das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de esta definida?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada das funções paramétricas dadas por:
Para isso, vamos usar a regra de derivação de funções paramétricas, que envolve derivar e em relação a e depois dividir essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a .
Temos . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Aqui, multiplicamos a constante 8 pelo expoente 3, diminuimos o expoente em 1 e multiplicamos pela derivada interna de , que é .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a .
Temos . Aplicando a regra da cadeia novamente:
Aqui, além de multiplicar pela constante e diminuir o expoente, lembramos que a derivada de é .

Passo 4

Com as derivadas e encontradas, aplicamos a fórmula para encontrar :
Simplificamos os termos comuns e lembramos que .

Passo 5

Por fim, precisamos determinar para quais valores de a derivada está definida. Observamos que:
A tangente está definida sempre que . No intervalo , quando . Além disso, a derivada não está definida nos pontos onde , que acontecem em .

Resposta

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