Calcular as derivadas sucessivas para a função:
f(x) = x^4 - 3 x^3 - 5 x^2 + 1

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo para encontrar as derivadas sucessivas da função . A matéria que vamos usar é o cálculo de derivadas, especificamente a derivação de polinômios. Vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação, como a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Para polinômios, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . Aplicando a regra da potência a cada termo:
Calculando cada derivada individualmente:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada :
Calculando cada termo:
Portanto, a segunda derivada é:

Passo 5

Vamos continuar para a terceira derivada, que é a derivada da segunda derivada :
Calculando cada termo:
Então, a terceira derivada é:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a quarta derivada, que é a derivada da terceira derivada :
Calculando cada termo:
Assim, a quarta derivada é:

Resposta

As derivadas sucessivas da função são:

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