Calcular as derivadas sucessivas para a função:
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo para encontrar as derivadas sucessivas da função
. A matéria que vamos usar é o cálculo de derivadas, especificamente a derivação de polinômios. Vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação, como a regra da potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. Para polinômios, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. Aplicando a regra da potência a cada termo:
Calculando cada derivada individualmente:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
:
Calculando cada termo:
Portanto, a segunda derivada é:
Passo 5
Vamos continuar para a terceira derivada, que é a derivada da segunda derivada
:
Calculando cada termo:
Então, a terceira derivada é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a quarta derivada, que é a derivada da terceira derivada
:
Calculando cada termo:
Assim, a quarta derivada é:
Resposta
As derivadas sucessivas da função
são: