Determinar a função derivada da seguinte função:
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e multiplicativas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar:
e
. Vamos derivar cada parte separadamente e depois juntar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
. Como temos um produto de duas funções (x e
), vamos usar a Regra do Produto. A regra do produto diz que se temos duas funções
e
, a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto:
-
→ -
→ Precisamos encontrar
Passo 5
Para encontrar
, usamos a Regra da Cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, temos
onde
.
Passo 6
A derivada de
em relação a
é
. Agora, multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Passo 7
Então,
Passo 8
Voltando à derivada de
:
Simplificando:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos derivar a segunda parte da função original:
. A derivada de
é
usando a Regra da Cadeia. Aqui,
, então
.
Passo 10
Portanto,
Resposta
A derivada da função é: