Use as substituições trigonométricas para calcular: integral d xx raizx^2+5

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar identidades trigonométricas e técnicas de integração específicas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é x = raiz5 tan theta , o que se assemelha à forma . Para esse tipo de integral, uma substituição trigonométrica comum é . Nesse caso, , então . Fazemos a substituição:

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar dx = raiz5 sec^2 theta , dtheta em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituímos integral raiz5 sec^2 theta , dthetaraiz5 tan theta cdot raiz (raiz5 tan theta)^2 + 5 e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
(raiz5 tan theta)^2 + 5 = 5 tan^2 theta + 5 = 5 (tan^2 theta + 1) = 5 sec^2 theta
Portanto, a raiz se torna:
raiz5 sec^2 theta = raiz5 sec theta

Passo 6

Substituindo na integral:
integral raiz5 sec^2 theta , dthetaraiz5 tan theta cdot raiz5 sec theta = integral sec^2 thetatan theta sec theta , dtheta = integral sec thetatan theta , dtheta

Passo 7

Lembrando que 1cos theta cdot cos thetasin theta = 1sin theta = csc theta e integral csc theta , dtheta , a expressão simplifica para:
Então, a integral fica:

Passo 8

A integral de -ln |csc theta + cot theta| + C é . Portanto:

Passo 9

Agora, voltamos para a variável csc theta = hipotenusaoposto = raizx^2 + 5x . Sabemos que cot theta = adjacenteoposto = raiz5x , o que implica que . Vamos desenhar um triângulo retângulo para expressar e em termos de .
Com , temos:
  • Cateto oposto:
  • Cateto adjacente:
  • Hipotenusa:
Então:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão:
-ln | raizx^2 + 5x + raiz5x | + C = -ln | raizx^2 + 5 + raiz5x | + C
Podemos simplificar escrevendo como:
ln | xraizx^2 + 5 + raiz5 | + C

Resposta

A integral resulta em:
ln | xraizx^2 + 5 + raiz5 | + C

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