Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais usando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar identidades trigonométricas e técnicas de integração específicas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
, o que se assemelha à forma
. Para esse tipo de integral, uma substituição trigonométrica comum é
. Nesse caso,
, então
. Fazemos a substituição:
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz se torna:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Lembrando que
e
, a expressão
simplifica para:
Então, a integral fica:
Passo 8
A integral de
é
. Portanto:
Passo 9
Agora, voltamos para a variável
. Sabemos que
, o que implica que
. Vamos desenhar um triângulo retângulo para expressar
e
em termos de
.
Com
, temos:
- Cateto oposto:
- Cateto adjacente:
- Hipotenusa:
Então:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão:
Podemos simplificar escrevendo como:
Resposta
A integral resulta em: