Calcule: integral sin (8 x) sin (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de sin(8x) sin(5x) , dx. Isso envolve cálculo, especificamente integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma de cossenos, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que diz:
sin(A) sin(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2
Aqui, e . Vamos substituir esses valores na identidade.

Passo 3

Substituindo sin(8x) sin(5x) = cos(8x - 5x) - cos(8x + 5x)2 = cos(3x) - cos(13x)2 e integral sin(8x) sin(5x) , dx = integral cos(3x) - cos(13x)2 , dx , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral cos(3x)2 , dx - integral cos(13x)2 , dx
Podemos tirar o fator constante 12 integral cos(3x) , dx - 12 integral cos(13x) , dx para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral cos(3x) , dx = sin(3x)3 é integral cos(13x) , dx = sin(13x)13 , onde é uma constante.
Integrando :
Integrando :

Passo 6

Substituindo as integrais de volta na expressão:
12 ( sin(3x)3 ) - 12 ( sin(13x)13 )
Simplificando os coeficientes:
sin(3x)6 - sin(13x)26 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral sin(8x) sin(5x) , dx = sin(3x)6 - sin(13x)26 + C

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