Calcular o deslocamento vertical do vértice de um cone apoiado na base e sujeito somente a ação de seu próprio peso, sendo a altura igual a L, o peso específico gamma e o módulo de elasticidade E.
Resposta: De.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o deslocamento vertical ( ) do vértice de um cone que está apoiado na base. Esse cone está sujeito apenas ao seu próprio peso. Os dados fornecidos são:
  • Altura do cone:
  • Peso específico:
  • Módulo de elasticidade:
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de física relacionados à deformação de materiais sob ação de forças, especificamente a teoria da elasticidade.

Passo 2

Vamos considerar que o cone está sofrendo uma deformação devido ao seu próprio peso. Essa deformação causa um deslocamento vertical no vértice do cone. Para calcular esse deslocamento, precisamos relacionar a força que está atuando no cone (devido ao seu peso) com as propriedades do material (módulo de elasticidade) e as dimensões do cone (altura).

Passo 3

O peso total do cone pode ser calculado multiplicando-se o peso específico ( ) pelo volume do cone. Como a base está apoiada e apenas a ponta está se deslocando, a força responsável pela deformação é o peso atuando no centro de massa do cone.

Passo 4

A fórmula geral para o deslocamento ( De) em estruturas sujeitas a cargas é dada por:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a altura,
  • é a área da seção transversal,
  • é o módulo de elasticidade.
No caso do cone, a força é o peso total que atua no centro de massa. Para um cone, o centro de massa está localizado a um terço da altura a partir da base.

Passo 5

Calculando o peso total F = gamma cdot V :
V = 13 pi r^2 L
O volume de um cone é dado por:
Onde é o raio da base. No entanto, como não temos o raio, podemos relacionar a força diretamente com a altura e o peso específico, considerando que estamos interessados apenas na relação entre , , e .

Passo 6

Considerando que a deformação ocorre uniformemente ao longo da altura De, podemos simplificar a relação para obter o deslocamento vertical :

Resposta

De

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