Desenhe as seguintes forças nos eixos de coordenadas x, y, z. Mostre alpha, beta, gamma. Calcule os valores dos ângulos diretores (resposta em ângulo). Represente os ângulos diretores como um vetor unitário que atue na direção F.
F=10 i+24 j-30 k K N

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma força F = 10,i + 24,j - 30,k, KN. O enunciado pede para desenhar essa força nos eixos coordenados x, y, z, mostrar os ângulos alpha, beta, gamma, calcular os valores desses ângulos e representar os ângulos diretores como um vetor unitário na direção de F. Para resolver isso, vamos precisar entender de vetores, componentes vetoriais, ângulos diretores e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a força F nos eixos coordenados. Cada componente de F corresponde a uma direção:
  • 10,i na direção x
  • 24,j na direção y
  • -30,k na direção z
Isso significa que a força tem 10 KN na horizontal ( x), 24 KN na vertical ( y) e 30 KN na direção oposta da z.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou tamanho) da força F. A fórmula para o módulo de um vetor é:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2
Substituindo os valores:
|F| = raiz10^2 + 24^2 + (-30)^2 = raiz100 + 576 + 900 = raiz1576 approx 39,7, KN

Passo 4

Os ângulos diretores alpha, beta, gamma são os ângulos que a força faz com os eixos x, y, z, respectivamente. Para encontrar esses ângulos, usamos as funções cosseno:
cos alpha = Fx|F|, cos beta = Fy|F|, cos gamma = Fz|F|
Vamos calcular cada um:
cos alpha = 1039,7 approx 0,252 cos beta = 2439,7 approx 0,604 cos gamma = -3039,7 approx -0,756

Passo 5

Agora, para encontrar os ângulos alpha, beta, gamma, usamos a função arco cosseno (inverso do cosseno):
alpha = cos^-1(0,252) approx 75,6^circ beta = cos^-1(0,604) approx 52,5^circ gamma = cos^-1(-0,756) approx 140,2^circ

Passo 6

Por último, vamos representar os ângulos diretores como um vetor unitário na direção de F. Esse vetor unitário, chamado de vetor de direção, é dado por:
u = cos alpha,i + cos beta,j + cos gamma,k
Substituindo os valores que encontramos:
u = 0,252,i + 0,604,j - 0,756,k

Resposta

Os ângulos diretores são aproximadamente alpha = 75,6^circ, beta = 52,5^circ e gamma = 140,2^circ. O vetor unitário na direção de F é:
u = 0,252,i + 0,604,j - 0,756,k

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