Calcular o raio interno de uma seção cirular vazada (coroa circular) de ferro fundido sujeita a uma compressão de 1.500 kN . O raio externo é de 120 mm e a tensão admissível 75 MPa .
Resposta: 89 mm .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o raio interno de uma coroa circular feita de ferro fundido que está sujeita a uma força de compressão de 1.500 kN. Sabemos que o raio externo dessa coroa é de 120 mm e a tensão admissível do material é 75 MPa. Para resolver isso, vamos usar princípios de mecânica dos materiais, especificamente a relação entre força, tensão e área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão ( sigma = FA ) é definida como a força ( 75 MPa = 1.500 kNA ) dividida pela área ( 1.500 kN = 1.500 times 10^3 N = 1.500.000 N ) sobre a qual essa força está atuando:
75 MPa = 75 times 10^6 Pa
Nesse caso, a tensão admissível é a tensão máxima que o material pode suportar sem falhar, então:
75 times 10^6 = 1.500.000A
Mas precisamos ter as unidades consistentes. Vamos converter 1.500 kN para N:
E 75 MPa para Pa:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, resolvendo para a área A = 1.500.00075 times 10^6 = 1.500.00075.000.000 = 0,02 m^2 :
0,02 m^2 = 0,02 times 10^6 mm^2 = 20.000 mm^2
Mas como estamos trabalhando com medidas em milímetros, vamos converter 0,02 m² para mm²:

Passo 4

A área da coroa circular é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno. A fórmula para a área de um círculo é:
A = pi (R^2 - r^2)
Onde 20.000 = pi (120^2 - r^2) é o raio externo e é o raio interno que queremos encontrar. Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Vamos resolver para 20.000 = pi (14.400 - r^2) :
20.000pi = 14.400 - r^2
Dividindo ambos os lados por 20.0003,1416 approx 6.366,2 :
6.366,2 = 14.400 - r^2
Calculando:
r^2 = 14.400 - 6.366,2 approx 8.033,8
Então:
Isolando :

Passo 6

Agora, tirando a raiz quadrada para encontrar r = raiz8.033,8 approx 89,6 mm :
r approx 89 mm
Arredondando para um número inteiro:

Resposta

O raio interno da coroa circular é de 89 mm.

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