Calcular det(A)(lambda in R) :
A=(ccc 2-lambda & 3 & 4 1 & 1-lambda & 2 0 & 0 & 2-lambda )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz , que depende de . Esse problema é de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula do determinante para matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A matriz A = 2-lambda & 3 & 4 1 & 1-lambda & 2 0 & 0 & 2-lambda que temos é:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
A fórmula do determinante para uma matriz 3x3 é:
Onde representa o elemento na linha e coluna da matriz.

Passo 3

Vamos identificar os elementos da matriz:
a11 &= 2 - lambda a12 &= 3 a13 &= 4 a21 &= 1 a22 &= 1 - lambda a23 &= 2 a31 &= 0 a32 &= 0 a33 &= 2 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte da fórmula do determinante:
  1. (2 - lambda)[(1 - lambda)(2 - lambda) - (2)(0)] = (2 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) :
-3[(1)(2 - lambda) - (2)(0)] = -3(2 - lambda)
  1. 4[(1)(0) - (1 - lambda)(0)] = 0 :
  1. :

Passo 5

Agora, somamos todas as partes:
det(A) = (2 - lambda)^2 (1 - lambda) - 3(2 - lambda) + 0

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
det(A) = (2 - lambda)^2 (1 - lambda) - 3(2 - lambda)
Podemos fatorar det(A) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(1 - lambda) - 3] :

Passo 7

Expandindo dentro do parênteses:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 2(1) - 2lambda - lambda(1) + lambda^2 = 2 - 3lambda + lambda^2
Substituindo de volta:
det(A) = (2 - lambda)[2 - 3lambda + lambda^2 - 3] = (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda -1)

Passo 8

Então, o determinante da matriz det(A) = (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda -1) é:

Resposta

O determinante de é .

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