Deduza uma equação da elipse
a) de focos F1(0,-1) e F2(0,1) e eixo maior 4 ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em e , e cujo eixo maior tem comprimento 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às propriedades das elipses.

Passo 2

Nas elipses, o eixo maior é a maior distância que passa pelos dois focos. O comprimento do eixo maior é dado por 2a = 4 implies a = 2 , onde é o semi-eixo maior. Como o comprimento do eixo maior é 4, então:

Passo 3

Os focos da elipse estão localizados ao longo de um dos eixos. Neste caso, os focos e indicam que o eixo maior está no eixo y. A distância entre os focos é , onde é a distância de cada foco ao centro da elipse.

Passo 4

Vamos calcular 2c = 2 implies c = 1 . A distância entre os focos é 2 (de -1 a 1 no eixo y), então:

Passo 5

Sabemos que, para uma elipse, a relação entre os semi-eixos é:
c^2 = a^2 - b^2
Onde 1^2 = 2^2 - b^2 é o semi-eixo menor. Substituindo 1 = 4 - b^2 e b^2 = 3 :

Passo 6

Agora temos x^2b^2 + y^2a^2 = 1 e x^23 + y^24 = 1 . Como o eixo maior está no eixo y, a equação padrão da elipse é:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A equação da elipse é:
x^23 + y^24 = 1

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