Determine uma equação da circunferência tangente às retas
e
nos pontos
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que é tangente às retas
e
nos pontos
e
, respectivamente. Então, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com circunferências e suas tangências a retas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da circunferência e as condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da circunferência:
Aqui,
é o centro da circunferência e
é o raio. Nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 3
Como a circunferência é tangente às retas
e
nos pontos
e
, respectivamente, esses pontos estão na circunferência. Então, podemos substituir esses pontos na equação da circunferência para obter duas equações:
Para
:
Para
:
Passo 4
Como ambas as equações são iguais a
, podemos igualá-las:
Simplificando, percebemos que
se cancela de ambos os lados:
Passo 5
Expandindo os quadrados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Somando
aos dois lados:
Então, o centro da circunferência está na posição
.
Passo 6
Agora, voltamos a uma das equações iniciais para encontrar
. Vamos usar a equação (1):
Passo 7
Como a circunferência é tangente às retas
e
, a distância do centro
a cada uma dessas retas deve ser igual ao raio
.
A fórmula para a distância de um ponto
a uma reta
é:
Para a reta
, reescrevemos como
. Então, a distância é:
Simplificando:
Passo 8
Vamos substituir
na equação (3):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Expandindo
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma única solução:
Passo 10
Agora que temos
e
, podemos encontrar o raio
:
Resposta
A equação da circunferência é: