Determine uma equação da circunferência tangente às retas y=x e y=-x nos pontos (3,3) e (-3,3), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que é tangente às retas e nos pontos e , respectivamente. Então, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com circunferências e suas tangências a retas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da circunferência e as condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, é o centro da circunferência e é o raio. Nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 3

Como a circunferência é tangente às retas (3 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2 (1) e (-3 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2 (2) nos pontos e , respectivamente, esses pontos estão na circunferência. Então, podemos substituir esses pontos na equação da circunferência para obter duas equações:
Para :
Para :

Passo 4

Como ambas as equações são iguais a (3 - h)^2 + (3 - k)^2 = (-3 - h)^2 + (3 - k)^2 , podemos igualá-las:
(3 - h)^2 = (-3 - h)^2
Simplificando, percebemos que se cancela de ambos os lados:

Passo 5

Expandindo os quadrados:
9 - 6h + h^2 = 9 + 6h + h^2
Subtraindo -6h = 6h de ambos os lados:
0 = 12h Rightarrow h = 0
Somando aos dois lados:
Então, o centro da circunferência está na posição .

Passo 6

Agora, voltamos a uma das equações iniciais para encontrar (3 - 0)^2 + (3 - k)^2 = r^2 Rightarrow 9 + (3 - k)^2 = r^2 (3) . Vamos usar a equação (1):

Passo 7

Como a circunferência é tangente às retas d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 e |0 - k|raiz1 + 1 = |k|raiz2 = r , a distância do centro r = |k|raiz2 a cada uma dessas retas deve ser igual ao raio .
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Para a reta , reescrevemos como . Então, a distância é:
Simplificando:

Passo 8

Vamos substituir 9 + (3 - k)^2 = ( |k|raiz2 )^2 Rightarrow 9 + (3 - k)^2 = k^22 na equação (3):
18 + 2(3 - k)^2 = k^2
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
18 + 2(9 - 6k + k^2) = k^2 Rightarrow 18 + 18 - 12k + 2k^2 = k^2
Expandindo 36 - 12k + 2k^2 = k^2 :
36 - 12k + k^2 = 0
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 9

Agora, resolvemos a equação quadrática:
k^2 - 12k + 36 = 0
Calculando o discriminante:
De
Como o discriminante é zero, temos uma única solução:
k = 122 = 6

Passo 10

Agora que temos r = |6|raiz2 = 6raiz2 = 3raiz2 e , podemos encontrar o raio :

Resposta

A equação da circunferência é:
x^2 + (y - 6)^2 = (3raiz2)^2 Rightarrow x^2 + (y - 6)^2 = 18

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