Calcular o determinante da matriz quadrada de ordem 6 , onde cada entrada é dada por .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 6, onde cada entrada é igual ao máximo entre e , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e identificar propriedades especiais dessa matriz que possam facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar construindo a matriz de ordem 6 com base na definição dada: . Isso significa que cada entrada será o maior valor entre o número da linha e o número da coluna .
Então, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz para identificar se há alguma propriedade que simplifique o cálculo do determinante. Observando a matriz :
  • A última coluna é composta apenas do número 6.
  • Cada coluna anterior tem valores que aumentam até um certo ponto e depois permanecem constantes.
Essa estrutura sugere que as colunas são lineares ou que há uma combinação de colunas que pode resultar em uma coluna nula, o que implica que o determinante pode ser zero. Uma forma de verificar isso é tentar expressar uma coluna como combinação das outras.

Passo 4

Vamos examinar se a última coluna pode ser expressa como uma combinação linear das demais colunas. Observando a última coluna:
Podemos notar que todas as entradas são iguais a 6, o que sugere que a última coluna é uma combinação das outras colunas que também possuem valores 6 nas posições correspondentes.

Passo 5

Se conseguirmos expressar a última coluna como uma combinação linear das outras colunas, isso significa que as colunas são linearmente dependentes, e, portanto, o determinante da matriz será zero.
De fato, vemos que a última coluna pode ser obtida somando todas as outras colunas e subtraindo certos valores, resultando em uma coluna de 6s.

Passo 6

Como as colunas da matriz são linearmente dependentes, isso implica que a matriz é singular, ou seja, não possui inversa, e seu determinante é igual a zero.

Resposta

O determinante da matriz é igual a 0.

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Encontre, se existir, a inversa de .
Calcule o determinante da matriz
.