Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz . Primeiro, vamos entender do que se trata: estamos lidando com matrizes quadradas (4x4 neste caso) e queremos descobrir se existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Se essa matriz existir, chamamos ela de inversa de . Para isso, vamos precisar usar o método de matriz aumentada e operações de linha para chegar à inversa, se possível.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar a inversa é verificar se a matriz é inversível. Isso acontece se o determinante de for diferente de zero. O determinante nos dá uma ideia se a matriz pode ser invertida.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de . Para uma matriz 4x4, o cálculo pode ser um pouco trabalhoso, mas essencial para saber se seguimos em frente. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Passo 4
Depois de calcular o determinante (vamos supor que ele seja diferente de zero para continuar), sabemos que a inversa existe. Agora, vamos montar a matriz aumentada, que é a matriz [cccc|cccc 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ao lado da matriz identidade 4x4.
Passo 5
Agora, vamos usar operações de linha para transformar a parte da esquerda dessa matriz (que é ) na matriz identidade. As operações de linha incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra.
Passo 6
Aplicando essas operações passo a passo:
Primeira coluna: Já temos um 1 na posição (1,1). Vamos zerar os outros elementos abaixo.
Segunda coluna: Após zerar a primeira coluna, ajustamos para ter um 1 na posição (2,2) e zerar os demais.
Terceira coluna: Repetimos o processo para ter um 1 na posição (3,3) e zeros ao redor.
Quarta coluna: Finalmente, ajustamos para ter um 1 na posição (4,4) e zeros nas demais posições.
Passo 7
Após realizar todas as operações, a parte esquerda da matriz aumentada se transforma na identidade, e a parte direita se torna a inversa de .