Calcular o determinante da matriz:
A=[rrrr 1 & 0 & 2 & -1 3 & 2 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -2 & 4 & 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante é uma função que nos dá um valor único para uma matriz quadrada e é muito útil em diversas áreas da matemática, como na resolução de sistemas lineares e no cálculo de áreas e volumes. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz até que seja triangular, facilitando o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira coluna da matriz A = 1 & 0 & 2 & -1 3 & 2 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -2 & 4 & 0 & 1 :
O primeiro elemento é 1, então podemos usar ele como pivô. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.

Passo 3

Vamos zerar o segundo elemento da primeira coluna. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 3R1
Calculando:
R2: 3 - 3(1) = 0 2 - 3(0) = 2 -2 - 3(2) = -8 0 - 3(-1) = 3
A matriz fica:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & -8 & 3 0 & 1 & 0 & 0 -2 & 4 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos zerar o quarto elemento da primeira coluna. Para isso, adicionamos 2 vezes a primeira linha à quarta linha:
R4 = R4 + 2R1
Calculando:
-2 + 2(1) = 0 4 + 2(0) = 4 0 + 2(2) = 4 1 + 2(-1) = -1
A matriz atualizada fica:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & -8 & 3 0 & 1 & 0 & 0 0 & 4 & 4 & -1

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo elemento da segunda linha é 2, que será nosso novo pivô. Vamos zerar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
Primeiro, vamos zerar o terceiro elemento da segunda coluna. Subtraímos 0.5 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 12R2
Calculando:
0 - 0 = 0 1 - 12(2) = 0 0 - 12(-8) = 4 0 - 12(3) = -1.5
A matriz fica:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & -8 & 3 0 & 0 & 4 & -1.5 0 & 4 & 4 & -1

Passo 6

Agora, vamos zerar o quarto elemento da segunda coluna. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - 2R2
Calculando:
0 - 0 = 0 4 - 2(2) = 0 4 - 2(-8) = 20 -1 - 2(3) = -7
A matriz atualizada fica:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & -8 & 3 0 & 0 & 4 & -1.5 0 & 0 & 20 & -7

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. O terceiro elemento da terceira linha é 4, que será nosso próximo pivô. Vamos zerar o elemento abaixo dele na terceira coluna.
Subtraímos 5 vezes a terceira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 5R3
Calculando:
0 - 0 = 0 0 - 0 = 0 20 - 5(4) = 0 -7 - 5(-1.5) = -7 + 7.5 = 0.5
A matriz fica:
A = 1 & 0 & 2 & -1 0 & 2 & -8 & 3 0 & 0 & 4 & -1.5 0 & 0 & 0 & 0.5

Passo 8

Agora que a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(A) = 1 times 2 times 4 times 0.5 = 4

Resposta

O determinante da matriz é igual a .

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