Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. O que isso significa? Bom, vamos dividir a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e realizar operações básicas de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 2 & 3 & -2 3 & -5 & 4 1 & -2 & -7 , x = x y z , b = 2 5 -24 , onde:
Passo 3
Agora, vamos decompor a matriz A = L cdot U em duas matrizes: (inferior) e (superior), onde tem 1’s na diagonal e é triangular superior. Assim:
Passo 4
Começamos preenchendo L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e com zeros e 1’s na diagonal de :
Passo 5
Vamos agora igualar u11 = 2, u12 = 3, u13 = -2 e encontrar os elementos de e .
A equação para a primeira linha de é igual à primeira linha de :
Passo 6
Para encontrar l21 = 32, l31 = 12 e , usamos as primeiras colunas:
Passo 7
Agora, vamos preencher a segunda linha de u22 = -5 - (32 times 3) = -5 - 92 = -192 :
u23 = 4 - (32 times (-2)) = 4 + 3 = 7
Passo 8
Encontramos l32 = -2 - (12 times 3)-192 = -2 - 32-192 = -72-192 = 719 usando a terceira linha: