Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU l2 x+3 y-2 z=2 3 x-5 y+4 z=5 x-2 y-7 z=-24

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. O que isso significa? Bom, vamos dividir a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e realizar operações básicas de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 2 & 3 & -2 3 & -5 & 4 1 & -2 & -7 , x = x y z , b = 2 5 -24 , onde:

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz A = L cdot U em duas matrizes: (inferior) e (superior), onde tem 1’s na diagonal e é triangular superior. Assim:

Passo 4

Começamos preenchendo L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e com zeros e 1’s na diagonal de :

Passo 5

Vamos agora igualar u11 = 2, u12 = 3, u13 = -2 e encontrar os elementos de e .
A equação para a primeira linha de é igual à primeira linha de :

Passo 6

Para encontrar l21 = 32, l31 = 12 e , usamos as primeiras colunas:

Passo 7

Agora, vamos preencher a segunda linha de u22 = -5 - (32 times 3) = -5 - 92 = -192 :
u23 = 4 - (32 times (-2)) = 4 + 3 = 7

Passo 8

Encontramos l32 = -2 - (12 times 3)-192 = -2 - 32-192 = -72-192 = 719 usando a terceira linha:

Passo 9

Finalmente, encontramos u33 = -7 - (12 times (-2)) - (719 times 7) = -7 + 1 - 4919 = -6 - 4919 = -16319 :

Passo 10

Agora temos as matrizes L = 1 & 0 & 0 32 & 1 & 0 12 & 719 & 1 , U = 2 & 3 & -2 0 & -192 & 7 0 & 0 & -16319 e :

Passo 11

Agora, resolvemos y1 = 2 32y1 + y2 = 5 12y1 + 719y2 + y3 = -24 para encontrar y1 = 2 :
32(2) + y2 = 5 Rightarrow 3 + y2 = 5 Rightarrow y2 = 2
Resolvendo:
12(2) + 719(2) + y3 = -24 Rightarrow 1 + 1419 + y3 = -24 Rightarrow y3 = -24 - 1 - 1419 = -25 - 1419 = -48919

Passo 12

Agora, resolvemos 2x + 3y - 2z = 2 -192y + 7z = 2 -16319z = -48919 para encontrar -16319z = -48919 Rightarrow z = 489163 = 3 :
-192y + 7(3) = 2 Rightarrow -192y + 21 = 2 Rightarrow -192y = -19 Rightarrow y = 2
Resolvendo a terceira equação:
2x + 3(2) - 2(3) = 2 Rightarrow 2x + 6 - 6 = 2 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = 2, z = 3

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