Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da decomposição LU

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU. O que isso significa? Bom, vamos dividir a matriz dos coeficientes em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e realizar operações básicas de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial , onde:

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz em duas matrizes: (inferior) e (superior), onde tem 1’s na diagonal e é triangular superior. Assim:

Passo 4

Começamos preenchendo e com zeros e 1’s na diagonal de :

Passo 5

Vamos agora igualar e encontrar os elementos de e .
A equação para a primeira linha de é igual à primeira linha de :

Passo 6

Para encontrar e , usamos as primeiras colunas:

Passo 7

Agora, vamos preencher a segunda linha de :

Passo 8

Encontramos usando a terceira linha:

Passo 9

Finalmente, encontramos :

Passo 10

Agora temos as matrizes e :

Passo 11

Agora, resolvemos para encontrar :
Resolvendo:

Passo 12

Agora, resolvemos para encontrar :
Resolvendo a terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Finalmente, na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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