Considere o espaço vetorial real V=(x, y) in R^2 ; x, y in R com as operações:
Adição: (a, b) oplus(c, d)=(a+c+5, b+d)
Multiplicação por escalar: lambda odot(a, b)=(lambda a+5(lambda-1), lambda b), lambda in R.
Verifique se W=(a, b) in V ; a=-5 é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial com umas operações de adição e multiplicação por escalar diferentes. A questão é verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para ele ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Não está vazio: Ou seja, deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores qualquer de e somarmos eles usando a operação de adição definida em , o resultado também deve estar em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor de e multiplicarmos por um escalar qualquer usando a operação definida em , o resultado também deve estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se não está vazio:
O vetor zero em é . Para ver se está em , substituímos na condição :
, que não é igual a . Então, não está em .
Como não contém o vetor zero, já podemos concluir que não é um subespaço de . Mas, para entender melhor, vamos verificar as outras condições também.

Passo 4

2. Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de (-5, b1) oplus (-5, b2) = (-5 + (-5) + 5, b1 + b2) = (-5, b1 + b2) . Como , esses vetores serão e .
Agora, somamos esses vetores usando a operação definida:
O primeiro componente da soma é , então o resultado está em . Ou seja, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de lambda odot (-5, b) = (lambda cdot (-5) + 5(lambda - 1), lambda cdot b) = (-5lambda + 5lambda - 5, lambda b) = (-5, lambda b) , digamos , e multiplicar por um escalar usando a operação definida:
O primeiro componente permanece , então o resultado também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Apesar de ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não contém o vetor zero de . Portanto, não é um subespaço vetorial de .

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