Considere o espaço vetorial real com as operações:
Adição:
Multiplicação por escalar: .
Verifique se é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial com umas operações de adição e multiplicação por escalar diferentes. A questão é verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para ele ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Não está vazio: Ou seja, deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores qualquer de e somarmos eles usando a operação de adição definida em , o resultado também deve estar em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor de e multiplicarmos por um escalar qualquer usando a operação definida em , o resultado também deve estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se não está vazio:
O vetor zero em é . Para ver se está em , substituímos na condição :
, que não é igual a . Então, não está em .
Como não contém o vetor zero, já podemos concluir que não é um subespaço de . Mas, para entender melhor, vamos verificar as outras condições também.

Passo 4

2. Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de . Como , esses vetores serão e .
Agora, somamos esses vetores usando a operação definida:
O primeiro componente da soma é , então o resultado está em . Ou seja, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de , digamos , e multiplicar por um escalar usando a operação definida:
O primeiro componente permanece , então o resultado também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Apesar de ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não contém o vetor zero de . Portanto, não é um subespaço vetorial de .

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Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Calcular o determinante da matriz:
Calcular a matriz X para cada um dos casos abaixo:
Considere o espaço vetorial real com as operações:
Adição: ;
Multiplicação por escalar: .
Exiba o elemento neutro da operação adição e o simétrico aditivo do elemento .