Considere o espaço vetorial real com as operações:
Adição:
Multiplicação por escalar: .
Verifique se é um subespaço vetorial de V.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial com umas operações de adição e multiplicação por escalar diferentes. A questão é verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para ele ser considerado como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
Não está vazio: Ou seja, deve conter pelo menos o vetor zero.
Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores qualquer de e somarmos eles usando a operação de adição definida em , o resultado também deve estar em .
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor de e multiplicarmos por um escalar qualquer usando a operação definida em , o resultado também deve estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se não está vazio:
O vetor zero em é . Para ver se está em , substituímos na condição :
, que não é igual a . Então, não está em .
Como não contém o vetor zero, já podemos concluir que não é um subespaço de . Mas, para entender melhor, vamos verificar as outras condições também.
Passo 4
2. Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de . Como , esses vetores serão e .
Agora, somamos esses vetores usando a operação definida:
O primeiro componente da soma é , então o resultado está em . Ou seja, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de , digamos , e multiplicar por um escalar usando a operação definida:
O primeiro componente permanece , então o resultado também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Apesar de ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não contém o vetor zero de . Portanto, não é um subespaço vetorial de .