Considere o espaço vetorial real
com as operações:
Adição:
Multiplicação por escalar:
.
Verifique se
é um subespaço vetorial de V.
Adição:
Multiplicação por escalar:
Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial
com umas operações de adição e multiplicação por escalar diferentes. A questão é verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para ele ser considerado como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições básicas:
- Não está vazio: Ou seja,
deve conter pelo menos o vetor zero. - Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores qualquer de
e somarmos eles usando a operação de adição definida em , o resultado também deve estar em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor de
e multiplicarmos por um escalar qualquer usando a operação definida em , o resultado também deve estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
não está vazio:
O vetor zero em
é
. Para ver se
está em
, substituímos na condição
:
Como
não contém o vetor zero, já podemos concluir que
não é um subespaço de
. Mas, para entender melhor, vamos verificar as outras condições também.
Passo 4
2. Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
. Como
, esses vetores serão
e
.
Agora, somamos esses vetores usando a operação definida:
O primeiro componente da soma é
, então o resultado está em
. Ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de
, digamos
, e multiplicar por um escalar
usando a operação definida:
O primeiro componente permanece
, então o resultado também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Apesar de
ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não contém o vetor zero de
. Portanto,
não é um subespaço vetorial de
.