Como calcular a dimensão de um subespaço vetorial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber como calcular a dimensão de um subespaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, bases e a ideia de dimensão.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que um subespaço vetorial é basicamente um conjunto de vetores que satisfaz algumas condições, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Para descobrir a dimensão, a gente precisa encontrar uma base para esse subespaço.

Passo 3

Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Linearmente independentes significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Gerar o subespaço quer dizer que qualquer vetor do subespaço pode ser construído usando combinações lineares dos vetores da base.

Passo 4

Então, para encontrar a dimensão, a gente segue estes passos:
  1. Encontrar uma base: Liste um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço.
  2. Contar os vetores da base: A quantidade de vetores na base será a dimensão do subespaço.

Passo 5

Vamos detalhar como encontrar uma base. Se você tem, por exemplo, um sistema de vetores que define o subespaço, você pode organizar esses vetores em uma matriz e usar o método da eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma onde fica claro quais vetores são independentes. Os vetores que correspondem às colunas com pivôs na matriz reduzida formam a base.

Passo 6

Uma vez que você tenha identificado os vetores da base, simplesmente conta quantos vetores tem nesse conjunto. Esse número é a dimensão do subespaço vetorial.

Resposta

A dimensão de um subespaço vetorial é igual ao número de vetores em qualquer base desse subespaço. Para calcular, encontre uma base composta por vetores linearmente independentes que geram o subespaço e conte quantos vetores tem nessa base.

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