Para quais valores de
e
o conjunto
é ortonormal?
Sejam
e
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O problema pede para encontrar os valores de
e
que tornam o conjunto
ortonormal. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser um conjunto ortonormal e usar conceitos de norma de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto ortonormal. Um conjunto de vetores é ortonormal se todos os vetores têm norma igual a 1 (ou seja, são unidades) e são mutuamente ortogonais (o produto escalar entre eles é zero).
Então, precisamos verificar duas coisas para os vetores
e
:
- Norma de cada vetor igual a 1:
- Produto escalar entre eles igual a 0:
Passo 3
Vamos começar calculando a norma de
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso para
:
Então,
já tem norma 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
:
Para que
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Essa é nossa primeira equação.
Passo 5
Agora, vamos verificar a ortogonalidade entre
e
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso para
e
:
Para que sejam ortogonais, esse produto deve ser zero:
Simplificando:
Essa é a nossa segunda equação.
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Substituindo
por
na primeira equação:
Como
, então:
Resposta
Os valores que tornam
ortonormal são: