Para quais valores de a e b o conjunto v1, v2 é ortonormal?
Sejam v1=(1raiz2, 0, 1raiz2) e v2=(a, 1raiz2,-b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O problema pede para encontrar os valores de e que tornam o conjunto ortonormal. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser um conjunto ortonormal e usar conceitos de norma de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto ortonormal. Um conjunto de vetores é ortonormal se todos os vetores têm norma igual a 1 (ou seja, são unidades) e são mutuamente ortogonais (o produto escalar entre eles é zero).
Então, precisamos verificar duas coisas para os vetores |v1| = 1 e |v2| = 1 e v1 cdot v2 = 0 :
  1. Norma de cada vetor igual a 1:
  2. Produto escalar entre eles igual a 0:

Passo 3

Vamos começar calculando a norma de |v| = raizx^2 + y^2 + z^2 . A norma de um vetor |v1| = raiz(1raiz2)^2 + 0^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 0 + 12 = raiz1 = 1 é dada por:
Aplicando isso para :
Então, já tem norma 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de |v2| = raiza^2 + (1raiz2)^2 + (-b)^2 = raiza^2 + 12 + b^2 :
raiza^2 + 12 + b^2 = 1
Para que a^2 + 12 + b^2 = 1 , temos:
a^2 + b^2 = 12
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Essa é nossa primeira equação.

Passo 5

Agora, vamos verificar a ortogonalidade entre u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e v1 cdot v2 = (1raiz2)a + 0 cdot 1raiz2 + (1raiz2)(-b) = araiz2 - braiz2 . O produto escalar entre dois vetores araiz2 - braiz2 = 0 e a - b = 0 Rightarrow a = b é dado por:
Aplicando isso para e :
Para que sejam ortogonais, esse produto deve ser zero:
Simplificando:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
a^2 + b^2 = 12 a = b
Substituindo a^2 + a^2 = 12 Rightarrow 2a^2 = 12 Rightarrow a^2 = 14 Rightarrow a = pm 12 por b = pm 12 na primeira equação:
Como , então:

Resposta

Os valores que tornam a = 12 e b = 12 ou a = -12 e b = -12 ortonormal são:

Exercícios relacionados