Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A X=0, em que
A=[lll1 & 0 & 1 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3]

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos encontrar um conjunto de vetores que geram todas as soluções do sistema homogêneo A = 1 & 0 & 1 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 , onde a matriz é dada por
Para resolver isso, vamos usar a técnica de eliminação de Gauss para determinar as soluções do sistema.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema de equações correspondente a 1x1 + 0x2 + 1x3 = 0 1x1 + 2x2 + 3x3 = 0 2x1 + 1x2 + 3x3 = 0 :

Passo 3

Vamos formar a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 0 2 & 1 & 3 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para obter uma matriz escalonada. Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (posição [1,1]).
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
[ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 2 & 0 2 & 1 & 3 & 0 ]

Passo 5

Em seguida, subtraímos duas vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
[ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (posição [2,2]). Para isso, multiplicamos a segunda linha por [ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 ] :
Linha 2 = * Linha 2:

Passo 7

Subtraímos a segunda linha da terceira linha para zerar o elemento [3,2]:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
[ccc|c 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 8

Agora, temos a matriz escalonada:
x1 + x3 = 0 x2 + x3 = 0 0 = 0
Perceba que a terceira equação não traz nenhuma informação nova.

Passo 9

Vamos expressar as variáveis em termos de uma variável livre. Escolhemos x1 = -x3 x2 = -x3 x3 = x3 como variável livre, já que não há equação que determina seu valor.
Então:

Passo 10

Podemos escrever a solução vetorial como:
X = x3 -1 -1 1

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução é o vetor:
-1 -1 1

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