Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(b) T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x, x+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função que, basicamente, preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que para quaisquer vetores e em e qualquer escalar , devem valer:
  1. (preserva a adição)
  2. (preserva a multiplicação por escalar)
Também, uma propriedade importante é que , ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, (x1 + x2) + 1) e T(u) + T(v) = (x1, x1 + 1) + (x2, x2 + 1) = (x1 + x2, (x1 + 1) + (x2 + 1)) = (x1 + x2, x1 + x2 + 2) .
Calculando (x1 + x2, (x1 + x2) + 1) neq (x1 + x2, x1 + x2 + 2) :
Agora, somando e :
Comparando os dois resultados:
Essa desigualdade mostra que , o que já quebra a primeira propriedade.

Passo 4

Além disso, podemos verificar rapidamente a condição T(0, 0) = (0, 0 + 1) = (0, 1) neq (0, 0) .
Calculando :
Isso mostra que a função não mapeia o vetor zero para ele mesmo, outro indicativo de que não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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