Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear é uma função que, basicamente, preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
, devem valer:
-
(preserva a adição) -
(preserva a multiplicação por escalar)
Também, uma propriedade importante é que
, ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade. Seja
e
.
Calculando
:
Agora, somando
e
:
Comparando os dois resultados:
Essa desigualdade mostra que
, o que já quebra a primeira propriedade.
Passo 4
Além disso, podemos verificar rapidamente a condição
.
Calculando
:
Isso mostra que a função não mapeia o vetor zero para ele mesmo, outro indicativo de que não é uma transformação linear.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.