Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um determinante de uma matriz 3x3 e precisa verificar, sem calcular diretamente, que o valor desse determinante é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como identificar se as linhas ou colunas de uma matriz são lineares, ou seja, se uma delas pode ser obtida através de combinações das outras. Isso nos ajudará a concluir que o determinante é zero sem fazer os cálculos completos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as linhas da matriz:
ccc b+c & a+c & a+b a & b & c 1 & 1 & 1
Perceba que a terceira linha é simplesmente uma linha de 1’s. Agora, vamos ver se a primeira linha pode ser escrita como uma combinação das outras duas linhas.
Passo 3
Vamos tentar expressar a primeira linha (b+c, a+c, a+b) = lambda (a, b, c) + mu (1, 1, 1) como uma combinação das segunda linha b + c = lambda a + mu a + c = lambda b + mu a + b = lambda c + mu e da terceira linha . Ou seja, queremos encontrar coeficientes e tais que:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações simultaneamente. Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(a + c) - (b + c) = lambda b - lambda a a - b = lambda (b - a)
Isso simplifica para:
a - b = -lambda (a - b)
Se 1 = -lambda implies lambda = -1 , então:
Passo 5
Usando b + c = -a + mu implies mu = a + b + c na primeira equação:
a + b = -c + (a + b + c) implies a + b = a + b
Vamos verificar se isso funciona na terceira equação:
Tudo confere!
Resposta
Como conseguimos expressar a primeira linha como uma combinação linear das outras duas linhas, isso significa que as linhas da matriz são lineares dependentes. Portanto, o determinante da matriz é igual a zero.