Sejam u=(1,-3,2) e v=(2,4,-1) vetores do R^3.
Determine o valor de k para que w=(-1, k,-7) seja combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de combinação linear! A gente tem dois vetores e no espaço tridimensional . A pergunta é: qual valor de faz com que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e ? Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que w = a cdot u + b cdot v é uma combinação linear de (-1, k, -7) = a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1) e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Substituindo os vetores, temos:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares (-1, k, -7) = (a cdot 1 + b cdot 2, , a cdot (-3) + b cdot 4, , a cdot 2 + b cdot (-1)) e -1 = a + 2b k = -3a + 4b -7 = 2a - b nos vetores:
O que resulta nas seguintes equações para cada componente:

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ( -1 = a + 2b (1) -7 = 2a - b (3) , , e ). Mas como queremos encontrar o valor de , podemos resolver as duas primeiras equações para e e depois substituir para achar .
Vamos resolver as duas primeiras equações:

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para a = -1 - 2b :
-7 = 2(-1 - 2b) - b -7 = -2 - 4b - b -7 + 2 = -5b -5 = -5b b = 1
Agora, substituímos esse valor de na equação (3):

Passo 6

Com a = -1 - 2(1) a = -1 - 2 a = -3 , substituímos de volta na expressão de :

Passo 7

Agora que temos k = -3a + 4b k = -3(-3) + 4(1) k = 9 + 4 k = 13 e , vamos usar a segunda equação para encontrar :

Resposta

O valor de que faz com que seja uma combinação linear de e é .

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