Sejam e vetores do .
Determine o valor de para que seja combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de combinação linear! A gente tem dois vetores e no espaço tridimensional . A pergunta é: qual valor de faz com que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e ? Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que é uma combinação linear de e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares e nos vetores:
O que resulta nas seguintes equações para cada componente:
Passo 4
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ( -1 = a + 2b (1) -7 = 2a - b (3) , , e ). Mas como queremos encontrar o valor de , podemos resolver as duas primeiras equações para e e depois substituir para achar .
Vamos resolver as duas primeiras equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação (1) para a = -1 - 2b :
-7 = 2(-1 - 2b) - b -7 = -2 - 4b - b -7 + 2 = -5b -5 = -5b b = 1
Agora, substituímos esse valor de na equação (3):
Passo 6
Com a = -1 - 2(1) a = -1 - 2 a = -3 , substituímos de volta na expressão de :
Passo 7
Agora que temos k = -3a + 4b k = -3(-3) + 4(1) k = 9 + 4 k = 13 e , vamos usar a segunda equação para encontrar :
Resposta
O valor de que faz com que seja uma combinação linear de e é .