Determinar equação para a reta que passa pelo ponto A=(-1,0,2) e é paralela aos planos pi1: 2 x+y+z+1=0 e pi2: x-3 y-z-5=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto pi1: 2x + y + z + 1 = 0 e que é paralela a dois planos dados:
pi2: x - 3y - z - 5 = 0
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço, especificamente o conceito de planos paralelos e como encontrar uma reta paralela a dois planos.
O que vamos precisar: Vetores normais dos planos e o produto vetorial para encontrar a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de n1 = (2, 1, 1) , n2 = (1, -3, -1) e na equação do plano.
Para o plano :
Para o plano :

Passo 3

Agora, queremos uma reta que seja paralela a ambos os planos. Isso significa que a direção dessa reta deve ser perpendicular aos vetores normais dos planos. Para encontrar essa direção, calculamos o produto vetorial dos vetores normais d = n1 times n2 e d = i & j & k 2 & 1 & 1 1 & -3 & -1 .
Calculando o produto vetorial:
d = i(1 cdot (-1) - 1 cdot (-3)) - j(2 cdot (-1) - 1 cdot 1) + k(2 cdot (-3) - 1 cdot 1)
d = i(-1 + 3) - j(-2 -1) + k(-6 -1)
d = 2i + 3j -7k
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Com o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = -1 + 2t y = 0 + 3t z = 2 - 7t , podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde é o ponto por onde a reta passa e são as componentes do vetor diretor.
Então, substituindo:
onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação paramétrica da reta é:
boxed x = -1 + 2t y = 3t z = 2 - 7t

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