Determinar equação para a reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos dados:
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço, especificamente o conceito de planos paralelos e como encontrar uma reta paralela a dois planos. O que vamos precisar: Vetores normais dos planos e o produto vetorial para encontrar a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para o plano :
Para o plano :
Passo 3
Agora, queremos uma reta que seja paralela a ambos os planos. Isso significa que a direção dessa reta deve ser perpendicular aos vetores normais dos planos. Para encontrar essa direção, calculamos o produto vetorial dos vetores normais e .
Calculando o produto vetorial:
d = 2i + 3j -7k
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Com o ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = -1 + 2t y = 0 + 3t z = 2 - 7t , podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde é o ponto por onde a reta passa e são as componentes do vetor diretor.