Consideremos o plano
e a reta
. Encontre dois pontos de
que distam 12 unidades do plano
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria no espaço envolvendo um plano e uma reta. O objetivo é encontrar dois pontos específicos na reta que estão a 12 unidades de distância do plano dado. Para isso, vamos precisar entender a equação do plano, a equação paramétrica da reta e a fórmula que calcula a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
- Plano:
- Reta:
, onde
A reta está dada em forma paramétrica, onde
é um ponto na reta e
é o vetor diretor da reta.
Passo 3
Para encontrar os pontos na reta que estão a uma distância específica do plano, precisamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula geral para a distância
de um ponto
a um plano
é:
No nosso caso, o plano é
, então
,
,
e
.
Passo 4
Vamos expressar qualquer ponto na reta
usando o parâmetro
. Assim, um ponto genérico na reta é:
Agora, vamos aplicar a fórmula da distância para esse ponto em relação ao plano
:
Queremos que essa distância seja igual a 12 unidades:
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
-
Caso 1:
-
Caso 2:
Com os valores de
, podemos encontrar os pontos correspondentes na reta:
-
Para
:
-
Para
:
Resposta
Os dois pontos na reta
que estão a 12 unidades de distância do plano
são
e
.
Exercícios relacionados
Determinar equação para a reta que passa pelo ponto
e é paralela aos planos
e
.
Calcule os valores de
e
para que a reta
esteja contida no plano
.
Calcular a distância entre os planos
e
.
Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos
e
e que seja perpendicular a esse segmento.