Consideremos o plano pi: x+y-raiz2 z=0 e a reta r:(x, y, z)=(1,1,0)+t(1,1,0), t in R. Encontre dois pontos de r que distam 12 unidades do plano pi.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria no espaço envolvendo um plano e uma reta. O objetivo é encontrar dois pontos específicos na reta que estão a 12 unidades de distância do plano dado. Para isso, vamos precisar entender a equação do plano, a equação paramétrica da reta e a fórmula que calcula a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
  • Plano: pi: x + y - raiz2 z = 0
  • Reta: r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t(1, 1, 0), onde t in R
A reta está dada em forma paramétrica, onde (1, 1, 0) é um ponto na reta e (1, 1, 0) é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Para encontrar os pontos na reta que estão a uma distância específica do plano, precisamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula geral para a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano é x + y - raiz2 z = 0, então A = 1, B = 1, C = -raiz2 e D = 0.

Passo 4

Vamos expressar qualquer ponto na reta r usando o parâmetro t. Assim, um ponto genérico na reta é:
(x, y, z) = (1 + t, 1 + t, 0)
Agora, vamos aplicar a fórmula da distância para esse ponto em relação ao plano pi:
D = |1(1 + t) + 1(1 + t) - raiz2(0)|raiz1^2 + 1^2 + (-raiz2)^2 = |2 + 2t|raiz1 + 1 + 2 = |2 + 2t|2 = |1 + t|
Queremos que essa distância seja igual a 12 unidades:
|1 + t| = 12

Passo 5

Vamos resolver a equação |1 + t| = 12:
  1. Caso 1: 1 + t = 12
    t = 11
  2. Caso 2: 1 + t = -12
    t = -13
Com os valores de t, podemos encontrar os pontos correspondentes na reta:
  • Para t = 11:
    (x, y, z) = (1 + 11, 1 + 11, 0) = (12, 12, 0)
  • Para t = -13:
    (x, y, z) = (1 - 13, 1 - 13, 0) = (-12, -12, 0)

Resposta

Os dois pontos na reta r que estão a 12 unidades de distância do plano pi são (12, 12, 0) e (-12, -12, 0).

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