Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de sistemas lineares, que geralmente utilizam métodos como substituição, eliminação ou matrizes para encontrar as soluções. Para resolver esse sistema, vamos precisar organizar as equações de forma que possamos simplificar e encontrar os valores das incógnitas em função do parâmetro .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada:
Nosso objetivo é encontrar valores de , , e que satisfaçam todas as quatro equações simultaneamente, dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos começar tentando isolar uma das variáveis. Observando as equações, podemos notar que a variável está presente em todas elas. Vamos usar a equação (1) para expressar em termos de e :
çã
Agora, substituímos essa expressão de nas equações (2), (3) e (4) para reduzir o sistema:
Substituindo na equação (2):
Substituindo na equação (3):
Substituindo na equação (4):
Agora, temos um sistema simplificado com três equações: (5), (6) e (7).
Passo 4
Vamos resolver as equações (6) e (7) para encontrar e :
Da equação (6):
Da equação (7):
Agora que temos e em termos de , podemos substituir esses valores na equação (5) para encontrar :
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, simplificamos :
Portanto:
Substituindo de volta na equação (5):
Agora, isolamos :
Passo 5
Agora, temos todas as incógnitas expressas em termos de :
No entanto, precisamos considerar as restrições que surgiram durante o processo:
Para ser válida, não pode ser zero ().
Para ser válida, não pode ser um ().
Além disso, devemos verificar se essas soluções satisfazem todas as equações originais. Para isso, podemos substituir os valores de , , e de volta nas equações e confirmar se elas são verdadeiras para os valores de que não resultam em indeterminações.
Resposta
O sistema possui solução única para todos os valores de diferentes de 0 e 1. As soluções são dadas por:
Portanto, para e , o sistema é consistente e possui uma solução única conforme as expressões acima.