Vamos resolver o exercício que pede para calcular a distância do ponto ao eixo . Esse problema está relacionado ao conteúdo de geometria analítica, especificamente ao cálculo de distâncias entre pontos e retas no espaço tridimensional. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a um eixo usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o eixo no espaço tridimensional. O eixo é a reta que passa pela origem e se estende ao longo do eixo . Em termos de coordenadas paramétricas, podemos representar o eixo como:
onde é um parâmetro real.
Passo 3
Agora, queremos calcular a distância do ponto d = | AP times v | | v | a essa reta . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é dada por:
onde é o vetor que vai de a , e representa o produto vetorial.
Passo 4
Para o eixo AP = (1-0, 2-0, 3-0) = (1,2,3) , podemos escolher o ponto e o vetor diretor , já que o eixo está alinhado ao eixo . O vetor será:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 = i(2 cdot 0 - 3 cdot 1) - j(1 cdot 0 - 3 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 0) :
= i(-3) - j(0) + k(1) = (-3, 0, 1)
Passo 6
A norma do vetor resultante | AP times v | = raiz(-3)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz9 + 0 + 1 = raiz10 é:
Passo 7
A norma do vetor diretor | v | = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz0 + 1 + 0 = 1 é: