Dadas duas bases e de um espaço vetorial , suponha que e . Determine . Além disso, se e conhecemos , qual a expressão que determina ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas bases, α e β, de um espaço vetorial W. O enunciado nos dá as expressões dos vetores da base α em termos dos vetores da base β. Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base de α para β, que a gente chama de . Além disso, queremos saber como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, é a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base α para as coordenadas na base β. Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base α em termos da base β.
Passo 3
Olha só, temos os vetores da base α definidos assim:
Cada uma dessas equações nos mostra como um vetor de α pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de β.
Passo 4
Agora, vamos extrair os coeficientes dessas combinações lineares. Esses coeficientes vão formar as colunas da matriz u1 = 1v1 + 1v2 + 1v3 .
Agora, queremos achar a expressão que relaciona [x]beta = Mbeta alpha [x]alpha com [x]alpha = Mbeta alpha^-1 [x]beta . Sabemos que:
Para encontrar , vamos precisar inverter a matriz . Então:
Isso significa que, para transformar as coordenadas de da base β para a base α, multiplicamos o vetor de coordenadas na base β pela matriz inversa de .
Resposta
A matriz de mudança de base de α para β é
Mbeta alpha = 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & -1 & 0
E a expressão que determina [x]alpha = Mbeta alpha^-1 [x]beta em função de é