Dadas duas bases alpha=u1, u2, u3 e beta=v1, v2, v3 de um espaço vetorial W, suponha que u1=v1+v2+v3, u2=v1+3 v2-v3 e u3=v1+v2. Determine Mbeta alpha. Além disso, se x in W e conhecemos [x]beta, qual a expressão que determina [x]alpha ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas bases, α e β, de um espaço vetorial W. O enunciado nos dá as expressões dos vetores da base α em termos dos vetores da base β. Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base de α para β, que a gente chama de . Além disso, queremos saber como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, é a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base α para as coordenadas na base β. Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base α em termos da base β.

Passo 3

Olha só, temos os vetores da base α definidos assim:
u1 = v1 + v2 + v3 u2 = v1 + 3v2 - v3 u3 = v1 + v2
Cada uma dessas equações nos mostra como um vetor de α pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de β.

Passo 4

Agora, vamos extrair os coeficientes dessas combinações lineares. Esses coeficientes vão formar as colunas da matriz u1 = 1v1 + 1v2 + 1v3 .
Para 1 1 1 :
u2 = 1v1 + 3v2 - 1v3
Então, a primeira coluna será 1 3 -1 .
Para u3 = 1v1 + 1v2 + 0v3 :
1 1 0
A segunda coluna será .
Para :
A terceira coluna será .

Passo 5

Com essas colunas, montamos a matriz Mbeta alpha = 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & -1 & 0 :

Passo 6

Agora, queremos achar a expressão que relaciona [x]beta = Mbeta alpha [x]alpha com [x]alpha = Mbeta alpha^-1 [x]beta . Sabemos que:
Para encontrar , vamos precisar inverter a matriz . Então:
Isso significa que, para transformar as coordenadas de da base β para a base α, multiplicamos o vetor de coordenadas na base β pela matriz inversa de .

Resposta

A matriz de mudança de base de α para β é
Mbeta alpha = 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & -1 & 0
E a expressão que determina [x]alpha = Mbeta alpha^-1 [x]beta em função de é

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