Definir determinante por recorrência. Dar um exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o determinante de uma matriz usando recorrência e ainda dar um exemplo. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz, o que é determinante e como podemos calcular esse determinante de forma recursiva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz. Uma matriz é basicamente uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz 2x2 tem 2 linhas e 2 colunas.
Passo 3
Agora, sobre o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas) e que tem várias propriedades importantes na álgebra linear, como decidir se uma matriz é invertível.
Passo 4
Para definir o determinante por recorrência, usamos a chamada regra de Laplace. Essa regra nos permite calcular o determinante de uma matriz maior usando os determinantes de matrizes menores. Basicamente, a ideia é expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna, multiplicando cada elemento por seu cofator e somando os resultados.
Passo 5
Vamos detalhar esse processo. Suponha que temos uma matriz
de ordem
. O determinante de
, denotado por
, pode ser calculado escolhendo uma linha ou coluna (geralmente a primeira linha para simplificar) e somando os produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores.
Matematicamente, fica assim:
Aqui:
-
é o elemento da matriz na linha e coluna . -
é a matriz que resulta de eliminar a linha e a coluna de . -
é chamado de sinal ou sinal alternado.
Passo 6
Esse processo é recursivo porque, para calcular
de ordem
, precisamos calcular determinantes de matrizes de ordem
, e assim por diante, até chegar a uma matriz 1x1, cujo determinante é simplesmente o próprio elemento.
Passo 7
Vamos ver um exemplo para clarear as ideias. Vamos calcular o determinante de uma matriz 2x2 usando recorrência.
Considere a matriz:
Usando a definição recursiva:
Aqui, cada termo é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Para uma matriz 2x2, isso já nos dá o determinante diretamente, sem precisar de etapas recursivas, mas esse é o princípio que se estende para matrizes maiores.
Resposta
Então, definimos o determinante de uma matriz de forma recursiva usando a regra de Laplace, onde o determinante de uma matriz
é calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna e somando os produtos dos elementos por seus cofatores. Por exemplo, para a matriz 2x2: