Definir determinante por recorrência. Dar um exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o determinante de uma matriz usando recorrência e ainda dar um exemplo. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz, o que é determinante e como podemos calcular esse determinante de forma recursiva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz. Uma matriz é basicamente uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz 2x2 tem 2 linhas e 2 colunas.

Passo 3

Agora, sobre o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas) e que tem várias propriedades importantes na álgebra linear, como decidir se uma matriz é invertível.

Passo 4

Para definir o determinante por recorrência, usamos a chamada regra de Laplace. Essa regra nos permite calcular o determinante de uma matriz maior usando os determinantes de matrizes menores. Basicamente, a ideia é expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna, multiplicando cada elemento por seu cofator e somando os resultados.

Passo 5

Vamos detalhar esse processo. Suponha que temos uma matriz det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j aij det(Mij) de ordem . O determinante de , denotado por , pode ser calculado escolhendo uma linha ou coluna (geralmente a primeira linha para simplificar) e somando os produtos dos elementos dessa linha pelos seus respectivos cofatores.
Matematicamente, fica assim:
Aqui:
  • é o elemento da matriz na linha e coluna .
  • é a matriz que resulta de eliminar a linha e a coluna de .
  • é chamado de sinal ou sinal alternado.

Passo 6

Esse processo é recursivo porque, para calcular de ordem , precisamos calcular determinantes de matrizes de ordem , e assim por diante, até chegar a uma matriz 1x1, cujo determinante é simplesmente o próprio elemento.

Passo 7

Vamos ver um exemplo para clarear as ideias. Vamos calcular o determinante de uma matriz 2x2 usando recorrência.
Considere a matriz:
A = a & b c & d
Usando a definição recursiva:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Aqui, cada termo é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Para uma matriz 2x2, isso já nos dá o determinante diretamente, sem precisar de etapas recursivas, mas esse é o princípio que se estende para matrizes maiores.

Resposta

Então, definimos o determinante de uma matriz de forma recursiva usando a regra de Laplace, onde o determinante de uma matriz det(A) = a cdot d - b cdot c é calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna e somando os produtos dos elementos por seus cofatores. Por exemplo, para a matriz 2x2:

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