Verifique a posição relativa entre as retas: r:lx=3+t y=1+2 t z=2-t lx=5+3 t y=-3-2 t z=4+t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional definidas pelas suas equações paramétricas. O objetivo é verificar como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e sistemas de equações para determinar se as retas são paralelas, coincidentes, interseccionam ou são skew (retas que não se intersectam e não são paralelas).

Passo 2

Vamos escrever as equações das duas retas de forma mais clara:
Para a reta x = 3 + t y = 1 + 2t z = 2 - t :
x = 5 + 3t y = -3 - 2t z = 4 + t
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro para cada reta. As direções das retas são dadas pelos vetores diretores, que podemos extrair dos coeficientes de em cada equação.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas:
  • Para a reta 13 neq 2-2 neq -11 , o vetor diretor é .
  • Para a reta , o vetor diretor é .
Agora, vamos verificar se esses vetores são proporcionais, ou seja, se existe um número tal que . Se forem proporcionais, as retas são paralelas ou coincidentes.
Vamos comparar as componentes:
Como não há um valor de que satisfaça todas as igualdades, os vetores não são proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente. Para isso, igualamos as equações das retas e resolvemos o sistema de equações para encontrar os parâmetros que tornam as coordenadas iguais.
Igualando as coordenadas:
3 + t = 5 + 3t' 1 + 2t = -3 - 2t' 2 - t = 4 + t'
Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos chamar o parâmetro da reta 3 + t = 5 + 3t' implies t - 3t' = 2 (1) de 1 + 2t = -3 - 2t' implies 2t + 2t' = -4 implies t + t' = -2 (2) .
Da primeira equação:
2 - t = 4 + t' implies -t - t' = 2 (3)
Da segunda equação:
t + t' = -2 e -t - t' = 2
Da terceira equação:
(t + t') + (-t - t') = -2 + 2 implies 0 = 0
Agora, observamos que as equações (2) e (3) são semelhantes:
t - 3(-2 - t) = 2 implies t + 6 + 3t = 2 implies 4t = -4 implies t = -1
Somando ambas as equações:
2 - (-1) = 4 + (-1) implies 3 = 3
Isso indica que as equações são dependentes, e precisamos verificar se há uma solução consistente para e .
Substituindo na equação (1):
Então, .
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Está tudo certo! Portanto, existe um ponto de interseção quando e .

Resposta

As retas e se intersectam no ponto .

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