Calcular:
a) a distância do ponto P(1,2,3) à reta
r:l x=1-2 t y=2 t z=2-t
b) a distância do ponto P(1,2,3) a cada um dos eixos coordenados

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes:
a) Precisamos calcular a distância do ponto à reta definida pelas equações paramétricas.
b) Também vamos calcular a distância desse ponto aos três eixos coordenados.
Vamos usar conteúdos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre ponto e reta no espaço, além de entender como calcular distâncias até os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a). Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço, usamos a seguinte fórmula:
d = | AP times v | | v |
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto qualquer na reta até o ponto .
  • é o vetor diretor da reta.
  • representa o produto vetorial.
  • representa a norma (comprimento) do vetor.

Passo 3

Vamos identificar os elementos necessários:
  • A reta x = 1 - 2t y = 2t z = 2 - t está definida por:
    Podemos observar que a reta passa pelo ponto quando , e o vetor diretor é .
  • O ponto é .

Passo 4

Vamos calcular o vetor AP = P - A = (1-1, 2-0, 3-2) = (0, 2, 1) :
v = (-2, 2, -1)
Agora, temos:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k 0 & 2 & 1 -2 & 2 & -1 = i(2 cdot (-1) - 1 cdot 2) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) + k(0 cdot 2 - 2 cdot (-2)) :
= i(-2 - 2) - j(0 + 2) + k(0 + 4) = i(-4) - j(2) + k(4)
= (-4, -2, 4)
| AP times v | = raiz(-4)^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6
Agora, a norma desse vetor:
| v | = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
E a norma de :

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = 63 = 2

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a distância do ponto a cada um dos três eixos coordenados: , e .
Para calcular a distância de um ponto a um eixo, usamos a seguinte ideia:
  • A distância até o eixo é a distância do ponto ao eixo no plano .
  • Analogamente para os outros eixos.

Passo 8

Calculando a distância até o eixo dx = raiz(1 - x)^2 + 2^2 + 3^2 :
No eixo dx = raiz0 + 4 + 9 = raiz13 , os pontos têm coordenadas . A distância de a qualquer ponto é:
A mínima distância ocorre quando , então:

Passo 9

Calculando a distância até o eixo dy = raiz1^2 + (2 - y)^2 + 3^2 :
No eixo dy = raiz1 + 0 + 9 = raiz10 , os pontos têm coordenadas . A distância de a qualquer ponto é:
A mínima distância ocorre quando , então:

Passo 10

Calculando a distância até o eixo dz = raiz1^2 + 2^2 + (3 - z)^2 :
No eixo dz = raiz1 + 4 + 0 = raiz5 , os pontos têm coordenadas . A distância de a qualquer ponto é:
A mínima distância ocorre quando , então:

Resposta

a) A dist��ncia do ponto à reta é unidades.
b) As distâncias do ponto aos eixos coordenados são:
  • Eixo : unidades,
  • Eixo : unidades,
  • Eixo : unidades.

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