Um grande grupo empresarial tem suas atividades divididas em três setores: Eletrodomésticos, Automóveis e Segurança Patrimonial. Cada equação linear que compõem o sistema representa a capacidade de uma regional de produzir valor agregado para cada grupo, em cada setor de atividade (primeiro membro), visando ao alcance de metas de lucro operacional em milhares de reais (segundo membro).
Considere a tabela que corresponde à porcentagem de cada setor em cada regional de produzir valor agregado.
Eletrodomésticos Automóveis Segurança Patrimonial
Regional 1 0,2 0,5 0,4
Regional 2 0,5 0,2 0,4
Regional 3 0,3 0,3 0,2
Sabendo que as metas de lucro operacional em milhares de reais são dados pela matriz
Lucro operacional
Regional 1 630,00
Regional 2 600,00
Regional 3 470,00
De acordo com estes dados, qual o valor mínimo com que o setor de automóveis deverá contribuir, visando alcançar estas metas?
x-Eletrodomésticos y-Automóveis z-Segurança Patrimonial

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um grupo empresarial dividido em três setores: Eletrodomésticos, Automóveis e Segurança Patrimonial. Cada regional tem uma certa capacidade de produzir valor nesses setores, representada pelas porcentagens na tabela. As metas de lucro operacional para cada regional também estão dadas. O objetivo é descobrir qual é o valor mínimo que o setor de Automóveis ( y) precisa contribuir para que todas as metas de lucro sejam alcançadas.
Vamos usar o conteúdo de sistemas de equações lineares para resolver esse problema. Precisaremos montar um sistema de equações com base nas porcentagens de produção de cada regional e nas metas de lucro, e então encontrar o valor mínimo de y que atende a todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as informações das tabelas em equações. As porcentagens indicam como cada regional distribui sua produção entre os setores. Suponhamos que:
  • x seja o valor produzido pelo setor de Eletrodomésticos,
  • y seja o valor produzido pelo setor de Automóveis,
  • z seja o valor produzido pelo setor de Segurança Patrimonial.
As metas de lucro operacional para cada regional são:
  • Regional 1: 630 mil reais,
  • Regional 2: 600 mil reais,
  • Regional 3: 470 mil reais.
Agora, vamos montar as equações para cada regional com base nas porcentagens:
Para a Regional 1:
0,2x + 0,5y + 0,4z = 630
Para a Regional 2:
0,5x + 0,2y + 0,4z = 600
Para a Regional 3:
0,3x + 0,3y + 0,2z = 470

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo de y. Para isso, vamos resolver o sistema de equações que montamos.
Primeiro, podemos simplificar as equações multiplicando todas por 10 para eliminar as casas decimais:
Equação 1:
2x + 5y + 4z = 6300
Equação 2:
5x + 2y + 4z = 6000
Equação 3:
3x + 3y + 2z = 4700
Agora, vamos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pelo método da eliminação.
Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis. Vamos tentar eliminar z das Equações 1 e 2.
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(2x + 5y + 4z) - (5x + 2y + 4z) = 6300 - 6000
-3x + 3y = 300
Simplificando:
-3x + 3y = 300 implies -x + y = 100 implies y = x + 100
Agora, temos uma relação entre y e x. Vamos usar essa relação na Equação 3.
Substituindo y = x + 100 na Equação 3:
3x + 3(x + 100) + 2z = 4700
3x + 3x + 300 + 2z = 4700
6x + 2z = 4400
Simplificando:
3x + z = 2200 implies z = 2200 - 3x
Agora, temos y e z em função de x. Vamos substituir essas expressões na Equação 2 para encontrar o valor de x.
Substituindo y = x + 100 e z = 2200 - 3x na Equação 2:
5x + 2(x + 100) + 4(2200 - 3x) = 6000
5x + 2x + 200 + 8800 - 12x = 6000
(5x + 2x - 12x) + (200 + 8800) = 6000
-5x + 9000 = 6000
-5x = -3000 implies x = 600
Agora que temos x = 600, podemos encontrar y e z:
y = x + 100 = 600 + 100 = 700
z = 2200 - 3x = 2200 - 1800 = 400

Resposta

O valor mínimo que o setor de Automóveis ( y) deve contribuir é de 700 mil reais para alcançar as metas de lucro operacional estabelecidas.

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