Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (-1,1, c), (-1,1,-c) e a origem sejam vértices de um triângulo retângulo na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um número real positivo tal que os pontos , e a origem formem um triângulo retângulo na origem. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um triângulo é retângulo na origem se os vetores que vão da origem até os outros dois pontos forem perpendiculares entre si. Ou seja, o ângulo entre esses vetores deve ser de 90 graus.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que partem da origem para os pontos dados:
  • Vetor para o ponto :
  • Vetor para o ponto :

Passo 4

Para que os vetores OA cdot OB = (-1) times (-1) + 1 times 1 + c times (-c) e sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. O produto escalar é calculado assim:

Passo 5

Vamos calcular cada parte do produto escalar:
(-1) times (-1) = 1
1 times 1 = 1
c times (-c) = -c^2
Então, somando tudo:
OA cdot OB = 1 + 1 - c^2

Passo 6

Para que os vetores sejam perpendiculares:
1 + 1 - c^2 = 0
Simplificando:
2 - c^2 = 0

Passo 7

Resolvendo para c^2 = 2 :
c = raiz2
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

O número real positivo é .

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