Determine o número real positivo
de maneira que os pontos
,
e a origem sejam vértices de um triângulo retângulo na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um número real positivo
tal que os pontos
,
e a origem
formem um triângulo retângulo na origem. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e produto escalar de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que um triângulo é retângulo na origem se os vetores que vão da origem até os outros dois pontos forem perpendiculares entre si. Ou seja, o ângulo entre esses vetores deve ser de 90 graus.
Passo 3
Vamos identificar os vetores que partem da origem para os pontos dados:
- Vetor
para o ponto : - Vetor
para o ponto :
Passo 4
Para que os vetores
e
sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. O produto escalar é calculado assim:
Passo 5
Vamos calcular cada parte do produto escalar:
Então, somando tudo:
Passo 6
Para que os vetores sejam perpendiculares:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
O número real positivo
é
.