Determine o produto escalar e o ângulo entre os seguintes pares de vetores: (-raiz3, 1) e B=(-3,-raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o produto escalar e o ângulo entre os vetores A = (-raiz3, 1) e B = (-3, -raiz3). Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do produto escalar e como calcular o comprimento (ou módulo) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os dois vetores. A fórmula do produto escalar é:
A cdot B = a1 times b1 + a2 times b2
onde (a1, a2) e (b1, b2) são as componentes dos vetores A e B, respectivamente.

Passo 3

Aplicando os valores dos vetores:
A cdot B = (-raiz3) times (-3) + (1) times (-raiz3) = 3raiz3 - raiz3 = 2raiz3
Então, o produto escalar dos vetores A e B é 2raiz3.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo entre os vetores. A fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo é:
A cdot B = |A| times |B| times cos(theta)
Para encontrar theta, precisamos primeiro calcular o módulo (comprimento) de cada vetor.

Passo 5

Calculando os módulos:
|A| = raiz(-raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = raiz4 = 2
|B| = raiz(-3)^2 + (-raiz3)^2 = raiz9 + 3 = raiz12 = 2raiz3
Agora, substituindo na fórmula do ângulo:
2raiz3 = 2 times 2raiz3 times cos(theta)
Simplificando:
2raiz3 = 4raiz3 times cos(theta) cos(theta) = 2raiz34raiz3 = 12
Então,
theta = cos^-1(12) = 60^circ

Resposta

O produto escalar entre os vetores é 2raiz3 e o ângulo entre eles é 60^circ.

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