Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância do ponto x = 1 - 2t y = 2t z = 2 - t até a reta definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional. Precisamos identificar um ponto na reta e o vetor diretor da reta para aplicar a fórmula da distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertença à reta x = 1 - 2(0) = 1 y = 2(0) = 0 z = 2 - 0 = 2 . Observando as equações paramétricas, podemos escolher para facilitar. Substituindo :
Então, o ponto está na reta .
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta v = (-2, 2, -1) . O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.
Passo 4
Para encontrar a distância entre o ponto d = |AP times v||v| e a reta , usamos a seguinte fórmula:
Onde:
é o vetor que vai do ponto para o ponto .
representa o produto vetorial.
representa o módulo (ou comprimento) do vetor.
Passo 5
Vamos calcular o vetor AP = P - A = (0 - 1, -2 - 0, 3 - 2) = (-1, -2, 1) :
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k -1 & -2 & 1 -2 & 2 & -1 :
i cdot [(-2)(-1) - (1)(2)] - j cdot [(-1)(-1) - (1)(-2)] + k cdot [(-1)(2) - (-2)(-2)] = i (2 - 2) - j (1 - (-2)) + k (-2 - 4) = i (0) - j (3) + k (-6) = (0, -3, -6)
Calcular o determinante:
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo do vetor resultante: