Calcular a distância do ponto P(0,-2,3) à reta r: lx=1-2 t y=2 t z=2-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância do ponto x = 1 - 2t y = 2t z = 2 - t até a reta definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional. Precisamos identificar um ponto na reta e o vetor diretor da reta para aplicar a fórmula da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertença à reta x = 1 - 2(0) = 1 y = 2(0) = 0 z = 2 - 0 = 2 . Observando as equações paramétricas, podemos escolher para facilitar. Substituindo :
Então, o ponto está na reta .

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta v = (-2, 2, -1) . O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.

Passo 4

Para encontrar a distância entre o ponto d = |AP times v||v| e a reta , usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o vetor que vai do ponto para o ponto .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o módulo (ou comprimento) do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o vetor AP = P - A = (0 - 1, -2 - 0, 3 - 2) = (-1, -2, 1) :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial AP times v = i & j & k -1 & -2 & 1 -2 & 2 & -1 :
i cdot [(-2)(-1) - (1)(2)] - j cdot [(-1)(-1) - (1)(-2)] + k cdot [(-1)(2) - (-2)(-2)] = i (2 - 2) - j (1 - (-2)) + k (-2 - 4) = i (0) - j (3) + k (-6) = (0, -3, -6)
Calcular o determinante:

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo do vetor resultante:
|AP times v| = raiz0^2 + (-3)^2 + (-6)^2 = raiz0 + 9 + 36 = raiz45 = 3raiz5

Passo 8

Em seguida, calculamos o módulo do vetor diretor |v| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 3raiz53 = raiz5

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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