Calcular a distância entre as retas nos seguintes casos:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. Para isso, vamos trabalhar com a geometria analítica no espaço tridimensional. Precisaremos identificar as equações das retas, determinar seus vetores diretores e usar a fórmula da distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas envolvidas no problema.
A primeira reta, que chamaremos de R₁, é dada pelo sistema de equações:
Podemos reescrever essa reta em forma paramétrica. Vamos escolher como parâmetro. Então:
Assim, o vetor diretor da reta R₁ é x = 3s + x0 y = s + 4 z = -2s -1 e um ponto na reta é .
A segunda reta, R₂, está na forma simétrica:
Podemos expressar essa reta em forma paramétrica também. Deixe o parâmetro ser :
Escolhendo para facilitar, temos o ponto e o vetor diretor .
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos calcular o produto vetorial entre d1 = (1, 2, -1) d2 = (3, 1, -2) e d1 times d2 = i & j & k 1 & 2 & -1 3 & 1 & -2 = i(2 cdot (-2) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-2) - (-1) cdot 3) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 3) . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular às duas retas, e sua magnitude será útil para encontrar a distância.