Calcular a distância entre as retas re s nos seguintes casos:
a) ly=2 x-3 z=-x-10 r 2: x=y-43=z+1-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. Para isso, vamos trabalhar com a geometria analítica no espaço tridimensional. Precisaremos identificar as equações das retas, determinar seus vetores diretores e usar a fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas envolvidas no problema.
A primeira reta, que chamaremos de R₁, é dada pelo sistema de equações:
y = 2x - 3 z = -x - 10
Podemos reescrever essa reta em forma paramétrica. Vamos escolher x = t y = 2t - 3 z = -t - 10 como parâmetro. Então:
x = y - 43 = z + 1-2
Assim, o vetor diretor da reta R₁ é x = 3s + x0 y = s + 4 z = -2s -1 e um ponto na reta é .
A segunda reta, R₂, está na forma simétrica:
Podemos expressar essa reta em forma paramétrica também. Deixe o parâmetro ser :
Escolhendo para facilitar, temos o ponto e o vetor diretor .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos calcular o produto vetorial entre d1 = (1, 2, -1) d2 = (3, 1, -2) e d1 times d2 = i & j & k 1 & 2 & -1 3 & 1 & -2 = i(2 cdot (-2) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-2) - (-1) cdot 3) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 3) . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular às duas retas, e sua magnitude será útil para encontrar a distância.
= i(-4 + 1) - j(-2 + 3) + k(1 - 6) = i(-3) - j(1) + k(-5)
O produto vetorial = (-3, -1, -5) é calculado assim:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar um vetor que liga os pontos P1 = (0, -3, -10) P2 = (0, 4, -1) P1P2 = (0 - 0, 4 - (-3), -1 - (-10)) = (0, 7, 9) e . Esse vetor será :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre P1P2 cdot (d1 times d2) = (0, 7, 9) cdot (-3, -1, -5) = (0 cdot -3) + (7 cdot -1) + (9 cdot -5) = 0 - 7 - 45 = -52 e | P1P2 cdot (d1 times d2) | = 52 :
Tomamos o valor absoluto:

Passo 6

Também precisamos calcular a magnitude do produto vetorial | d1 times d2 | = raiz(-3)^2 + (-1)^2 + (-5)^2 = raiz9 + 1 + 25 = raiz35 :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância entre duas retas no espaço:
Distância = | P1P2 cdot (d1 times d2) | | d1 times d2 | = 52raiz35 approx 525,916 approx 8,78 unidades â

Resposta

A distância entre as retas é aproximadamente 8,78 unidades.

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