Verifique a posição relativa entre as retas e caso haja o ponto de interseção, determine-o:
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar a posição relativa entre duas retas e, se elas se cruzarem, encontrar o ponto de interseção. Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas no espaço e como encontrar se elas se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma mais clara. A reta está dada por:
Como não tem uma componente de , podemos assumir que pode ser qualquer valor, ou seja, , onde é um parâmetro.
A reta está dada por:
Isso significa que podemos expressar e em termos de um parâmetro. Vamos chamar esse parâmetro de .
Passo 3
Para facilitar, vamos parametrizar ambas as retas.
Para :
Para x = s y = 3s + 4 z = -2s - 1 , vamos igualar as duas expressões para :
Então, expressamos e em termos de :
Passo 4
Agora, com as duas retas parametrizadas, buscamos um ponto t = s 2t - 3 = 3s + 4 t = -2s - 1 que pertença a ambas. Isso significa que deve existir valores de t = -2t - 1 t + 2t = -1 3t = -1 t = -13 e que satisfaçam:
Como , podemos substituir por na terceira equação:
Passo 5
Com s = t = -13 , podemos encontrar x = -13 y = 2(-13) - 3 = -23 - 3 = -113 z = -13 :
Agora, vamos substituir de volta nas equações de para encontrar as coordenadas do ponto de interseção: