Verifique a posição relativa entre as retas e caso haja o ponto de interseção, determine-o:
b) r 1:y=2 x-3
r 2: x=y-43=z+1-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar a posição relativa entre duas retas e, se elas se cruzarem, encontrar o ponto de interseção. Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas no espaço e como encontrar se elas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma mais clara. A reta y = 2x - 3 está dada por:
x = y - 43 = z + 1-2
Como não tem uma componente de , podemos assumir que pode ser qualquer valor, ou seja, , onde é um parâmetro.
A reta está dada por:
Isso significa que podemos expressar e em termos de um parâmetro. Vamos chamar esse parâmetro de .

Passo 3

Para facilitar, vamos parametrizar ambas as retas.
Para x = t y = 2t - 3 z = t :
y - 43 = z + 1-2 = s
Para x = s y = 3s + 4 z = -2s - 1 , vamos igualar as duas expressões para :
Então, expressamos e em termos de :

Passo 4

Agora, com as duas retas parametrizadas, buscamos um ponto t = s 2t - 3 = 3s + 4 t = -2s - 1 que pertença a ambas. Isso significa que deve existir valores de t = -2t - 1 t + 2t = -1 3t = -1 t = -13 e que satisfaçam:
Como , podemos substituir por na terceira equação:

Passo 5

Com s = t = -13 , podemos encontrar x = -13 y = 2(-13) - 3 = -23 - 3 = -113 z = -13 :
Agora, vamos substituir de volta nas equações de para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

As retas e se interceptam no ponto .

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