Calcular a distância entre as retas re s nos seguintes casos:
b) r1: x-22=y-13=z1 r 2: x+34=y6=z-22

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações:
  • r₁:
  • r₂:
Queremos calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula para distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas na forma paramétrica, que facilita a visualização dos componentes de cada reta.
Para a reta r₁:
x = 2 + 2t y = 1 + 3t z = 0 + t
Aqui, x = -3 + 4s y = 0 + 6s z = 2 + 2s é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para a reta r₂:
Onde é o parâmetro para a reta r₂.

Passo 3

Observando as direções das retas, identificamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor de r₁:
  • Vetor diretor de r₂:
Percebemos que . Isso significa que as retas são paralelas, já que seus vetores diretores são proporcionais.

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte fórmula:
Distância = ||P2P1 times d||||d|| â
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto da reta r₁ para um ponto da reta r₂.
  • é o vetor diretor comum às retas.
  • representa o produto vetorial.
  • é a norma (ou comprimento) do vetor.

Passo 5

Escolhemos pontos específicos para facilitar os cálculos. Vamos pegar:
  • Ponto em r₁: quando P2P1 = P1 - P2 = (2 - (-3), 1 - 0, 0 - 2) = (5, 1, -2) , temos .
  • Ponto em r₂: quando , temos .
Agora, calculamos o vetor :

Passo 6

Com o vetor P2P1 times d = i & j & k 5 & 1 & -2 2 & 3 & 1 = i(1 cdot 1 - (-2) cdot 3) - j(5 cdot 1 - (-2) cdot 2) + k(5 cdot 3 - 1 cdot 2) e o vetor diretor = i(1 + 6) - j(5 + 4) + k(15 - 2) , vamos calcular o produto vetorial = 7i - 9j + 13k :
Então, .

Passo 7

Agora, calculamos a norma do vetor ||P2P1 times d|| = raiz7^2 + (-9)^2 + 13^2 = raiz49 + 81 + 169 = raiz299 :
||d|| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
E a norma do vetor diretor :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = raiz299raiz14 = raiz29914 approx raiz21,357 approx 4,62 â

Resposta

A distância entre as retas r₁ e r₂ é aproximadamente 4,62 unidades.

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