Calcular a distância entre as retas nos seguintes casos:
b) r1:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, dadas pelas equações:
r₁:
r₂:
Queremos calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas paralelas e a fórmula para distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas na forma paramétrica, que facilita a visualização dos componentes de cada reta.
Para a reta r₁:
Aqui, x = -3 + 4s y = 0 + 6s z = 2 + 2s é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para a reta r₂:
Onde é o parâmetro para a reta r₂.
Passo 3
Observando as direções das retas, identificamos os vetores diretores:
Vetor diretor de r₁:
Vetor diretor de r₂:
Percebemos que . Isso significa que as retas são paralelas, já que seus vetores diretores são proporcionais.
Passo 4
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, usamos a seguinte fórmula:
Distância = ||P2P1 times d||||d|| â
Onde:
é o vetor que vai de um ponto da reta r₁ para um ponto da reta r₂.
é o vetor diretor comum às retas.
representa o produto vetorial.
é a norma (ou comprimento) do vetor.
Passo 5
Escolhemos pontos específicos para facilitar os cálculos. Vamos pegar:
Ponto em r₁: quando P2P1 = P1 - P2 = (2 - (-3), 1 - 0, 0 - 2) = (5, 1, -2) , temos .
Ponto em r₂: quando , temos .
Agora, calculamos o vetor :
Passo 6
Com o vetor P2P1 times d = i & j & k 5 & 1 & -2 2 & 3 & 1 = i(1 cdot 1 - (-2) cdot 3) - j(5 cdot 1 - (-2) cdot 2) + k(5 cdot 3 - 1 cdot 2) e o vetor diretor = i(1 + 6) - j(5 + 4) + k(15 - 2) , vamos calcular o produto vetorial = 7i - 9j + 13k :
Então, .
Passo 7
Agora, calculamos a norma do vetor ||P2P1 times d|| = raiz7^2 + (-9)^2 + 13^2 = raiz49 + 81 + 169 = raiz299 :