Calcular a distância da reta r ao plano pi nos casos:
(a) r:lx=4+3 lambda y=-1+lambda, lambda in R e pi: x-y-2 z+4=0 z=lambda;
(b) r:lx=3 y=4 e pi: x+y-12=0;
© r:lx=3 y=4 e pi: y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a distância entre uma reta e um plano em três situações diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre uma reta e um plano. Vamos precisar entender as equações da reta e do plano e aplicar a fórmula correta para encontrar a distância.

Passo 2

Caso (a):
A reta x = 4 + 3lambda y = -1 + lambda z = lambda é dada pelas equações paramétricas:
x - y - 2z + 4 = 0
E o plano D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 é dado por:
Primeiro, precisamos identificar um ponto na reta e o vetor diretor da reta. Para isso, vamos considerar :
  • Ponto
  • Vetor diretor
A fórmula da distância entre um ponto e o plano é:
Vamos aplicar essa fórmula usando as coordenadas de e os coeficientes do plano .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
D = |1 cdot 4 + (-1) cdot (-1) + (-2) cdot 0 + 4|raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = |4 + 1 + 0 + 4|raiz1 + 1 + 4 = 9raiz6 = 9raiz66 = 3raiz62

Passo 4

Resposta para o caso (a):
A distância da reta ao plano é unidades.

Passo 5

Caso (b):
Aqui, a reta x = 3 y = 4 é definida pelas equações:
x + y - 12 = 0
E o plano x = 3 y = 4 z = lambda é:
Como a reta é definida apenas por e , podemos parametrizar a reta em função de , ou seja:
Vamos escolher um ponto na reta, por exemplo, para :
  • Ponto
Usando a mesma fórmula da distância, identificamos os coeficientes do plano , então , , , e .

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
D = |1 cdot 3 + 1 cdot 4 + 0 cdot 0 - 12|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |3 + 4 + 0 - 12|raiz1 + 1 + 0 = |-5|raiz2 = 5raiz2 = 5raiz22

Passo 7

Resposta para o caso (b):
A distância da reta ao plano é unidades.

Passo 8

Caso ©:
Neste último caso, a reta x = 3 y = 4 é a mesma do caso (b):
y = 0
E o plano x = 3 y = 4 z = lambda é:
Novamente, parametrizamos a reta:
Escolhendo o mesmo ponto , e observando que o plano , então , , , e .

Passo 9

Aplicando a fórmula da distância:
D = |0 cdot 3 + 1 cdot 4 + 0 cdot 0 + 0|raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = |4|1 = 4

Passo 10

Resposta para o caso ©:
A distância da reta ao plano é 4 unidades.

Resposta

As distâncias da reta ao plano são:
  • (a) unidades;
  • (b) unidades;
  • © 4 unidades.

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