Calcular a distância da reta ao plano nos casos:
(a) ;
(b) e ;
© e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a distância entre uma reta e um plano em três situações diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre uma reta e um plano. Vamos precisar entender as equações da reta e do plano e aplicar a fórmula correta para encontrar a distância.

Passo 2

Caso (a):
A reta é dada pelas equações paramétricas:
E o plano é dado por:
Primeiro, precisamos identificar um ponto na reta e o vetor diretor da reta. Para isso, vamos considerar :
  • Ponto
  • Vetor diretor
A fórmula da distância entre um ponto e o plano é:
Vamos aplicar essa fórmula usando as coordenadas de e os coeficientes do plano .

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 4

Resposta para o caso (a):
A distância da reta ao plano é unidades.

Passo 5

Caso (b):
Aqui, a reta é definida pelas equações:
E o plano é:
Como a reta é definida apenas por e , podemos parametrizar a reta em função de , ou seja:
Vamos escolher um ponto na reta, por exemplo, para :
  • Ponto
Usando a mesma fórmula da distância, identificamos os coeficientes do plano , então , , , e .

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:

Passo 7

Resposta para o caso (b):
A distância da reta ao plano é unidades.

Passo 8

Caso ©:
Neste último caso, a reta é a mesma do caso (b):
E o plano é:
Novamente, parametrizamos a reta:
Escolhendo o mesmo ponto , e observando que o plano , então , , , e .

Passo 9

Aplicando a fórmula da distância:

Passo 10

Resposta para o caso ©:
A distância da reta ao plano é 4 unidades.

Resposta

As distâncias da reta ao plano são:
  • (a) unidades;
  • (b) unidades;
  • © 4 unidades.

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