Dadas as retas e , encontrar as equações reduzidas na variável x da reta que passa por A(0,1,0) e pelo ponto de interseção de r1 e r2.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos dá duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , definidas por suas equações paramétricas. A tarefa é encontrar as equações reduzidas, em função de , da reta que passa por um ponto específico e pelo ponto onde as duas retas e se interceptam.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar pontos de interseção entre retas e como determinar a equação de uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção y = x - 12 z = 3 das retas x = lambda y = -1 + lambda z = 2 + lambda e x - 12 = -1 + x (igualando os valores de y ) . Para isso, igualamos as equações das duas retas.
A reta 3 = 2 + x (igualando os valores de z ) é dada por:
3 = 2 + x implies x = 1
E a reta 1 - 12 = -1 + 1 implies 0 = 0 é dada por:
y = 1 - 12 = 0
onde z = 3 é o parâmetro.
Como queremos o ponto onde elas se encontram, os valores de , e devem ser iguais para ambas as retas. Então, igualamos as equações correspondentes:
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Agora, substituímos na primeira equação:
Isso confirma que é válido. Agora, encontramos e :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora que temos os pontos AP = P - A = (1 - 0, 0 - 1, 3 - 0) = (1, -1, 3) e r(t) = A + t cdot AP = (0,1,0) + t(1,-1,3) , vamos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Primeiro, precisamos determinar a direção dessa reta, que é dada pelo vetor Rightarrow x = 0 + t y = 1 - t z = 0 + 3t .
Calculamos o vetor :
Agora, a equação vetorial da reta que passa por e tem direção é:
Passo 4
Nos pedem para expressar a equação dessa reta em forma reduzida na variável y = 1 - x . Observando que z = 3x , podemos substituir y = 1 - x z = 3x nas outras equações:
Então, as equações reduzidas da reta são:
Resposta
As equações reduzidas na variável y = 1 - x z = 3x da reta que passa por e pelo ponto de interseção de e são: