Dadas as retas e , encontrar as equações reduzidas na variável da reta que passa por e pelo ponto de interseção de e .
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos dá duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , definidas por suas equações paramétricas. A tarefa é encontrar as equações reduzidas, em função de , da reta que passa por um ponto específico e pelo ponto onde as duas retas e se interceptam.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar pontos de interseção entre retas e como determinar a equação de uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações das duas retas.
A reta é dada por:
E a reta é dada por:
onde é o parâmetro.
Como queremos o ponto onde elas se encontram, os valores de , e devem ser iguais para ambas as retas. Então, igualamos as equações correspondentes:
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Agora, substituímos na primeira equação:
Isso confirma que é válido. Agora, encontramos e :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora que temos os pontos e , vamos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Primeiro, precisamos determinar a direção dessa reta, que é dada pelo vetor .
Calculamos o vetor :
Agora, a equação vetorial da reta que passa por e tem direção é:
Passo 4
Nos pedem para expressar a equação dessa reta em forma reduzida na variável . Observando que , podemos substituir nas outras equações:
Então, as equações reduzidas da reta são:
Resposta
As equações reduzidas na variável da reta que passa por e pelo ponto de interseção de e são: