Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm . Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser posicionada.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos um farol com formato parabólico onde a abertura tem um diâmetro de 80 cm e uma profundidade de 20 cm no eixo. O objetivo é determinar a distância, a partir do vértice do farol, onde a lâmpada deve ser colocada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas e suas propriedades focais.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o formato do farol como uma parábola. A parábola pode ser representada pela equação
, onde
é uma constante que determina a “abertura” da parábola.
Passo 3
Sabemos que o diâmetro da abertura é 80 cm, então o raio é metade disso, ou seja, 40 cm. Isso significa que quando
cm, a profundidade
é de 20 cm. Vamos usar esses valores para encontrar o valor de
.
Passo 4
Substituindo os valores na equação da parábola:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar a distância focal
da parábola. A fórmula para a distância focal em uma parábola é:
Passo 6
Substituindo o valor de
na fórmula da distância focal:
Resposta
A lâmpada deve ser posicionada a 20 cm do vértice do farol.