Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm . Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser posicionada.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos um farol com formato parabólico onde a abertura tem um diâmetro de 80 cm e uma profundidade de 20 cm no eixo. O objetivo é determinar a distância, a partir do vértice do farol, onde a lâmpada deve ser colocada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas e suas propriedades focais.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o formato do farol como uma parábola. A parábola pode ser representada pela equação , onde é uma constante que determina a “abertura” da parábola.

Passo 3

Sabemos que o diâmetro da abertura é 80 cm, então o raio é metade disso, ou seja, 40 cm. Isso significa que quando cm, a profundidade é de 20 cm. Vamos usar esses valores para encontrar o valor de .

Passo 4

Substituindo os valores na equação da parábola:
20 = a (40)^2
20 = 1600a
a = 201600 = 180

Passo 5

Agora que temos o valor de f = 14a , podemos encontrar a distância focal da parábola. A fórmula para a distância focal em uma parábola é:

Passo 6

Substituindo o valor de f = 14 times 180 = 1120 = 20 cm na fórmula da distância focal:

Resposta

A lâmpada deve ser posicionada a 20 cm do vértice do farol.

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