Determine a equação da elipse de focos e que passa pelo ponto .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que pede para determinar a equação de uma elipse. Sabemos que os focos da elipse estão nos pontos e que a elipse passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de elipses, especificamente a relação entre os eixos principais, os focos e os pontos da elipse.

Passo 2

Primeiro, identificamos a posição dos focos da elipse: . Isso indica que os focos estão ao longo do eixo x, com distância do centro da elipse (que neste caso é a origem, ).

Passo 3

Sabemos que a equação padrão de uma elipse com o eixo maior no eixo x é:
onde:
  • é o semi-eixo maior,
  • é o semi-eixo menor,
  • é a distância do centro aos focos,
    e eles estão relacionados pela fórmula:

Passo 4

A elipse passa pelo ponto . Substituindo esses valores na equação da elipse, temos:

Passo 5

Agora, usando a relação entre , e , substituímos e na fórmula :

Resposta

A equação da elipse é:

Exercícios relacionados

Sejam . As retas e definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta .
Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu eixo, de 20 cm . Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser posicionada.
Calcular a distância da reta ao plano nos casos:
(a) ;
(b) e ;
© e .