Determine a equação da elipse de focos e que passa pelo ponto .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria que pede para determinar a equação de uma elipse. Sabemos que os focos da elipse estão nos pontos e que a elipse passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de elipses, especificamente a relação entre os eixos principais, os focos e os pontos da elipse.
Passo 2
Primeiro, identificamos a posição dos focos da elipse: . Isso indica que os focos estão ao longo do eixo x, com distância do centro da elipse (que neste caso é a origem, ).
Passo 3
Sabemos que a equação padrão de uma elipse com o eixo maior no eixo x é:
onde:
é o semi-eixo maior,
é o semi-eixo menor,
é a distância do centro aos focos,
e eles estão relacionados pela fórmula:
Passo 4
A elipse passa pelo ponto . Substituindo esses valores na equação da elipse, temos:
Passo 5
Agora, usando a relação entre , e , substituímos e na fórmula :