Determine a equação da elipse de focos ( pm 3,0) e que passa pelo ponto (0,4).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que pede para determinar a equação de uma elipse. Sabemos que os focos da elipse estão nos pontos (pm 3, 0) e que a elipse passa pelo ponto (0, 4). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de elipses, especificamente a relação entre os eixos principais, os focos e os pontos da elipse.

Passo 2

Primeiro, identificamos a posição dos focos da elipse: (pm 3, 0). Isso indica que os focos estão ao longo do eixo x, com distância c = 3 do centro da elipse (que neste caso é a origem, (0,0)).

Passo 3

Sabemos que a equação padrão de uma elipse com o eixo maior no eixo x é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
onde:
  • a é o semi-eixo maior,
  • b é o semi-eixo menor,
  • c é a distância do centro aos focos,
    e eles estão relacionados pela fórmula:
c^2 = a^2 - b^2

Passo 4

A elipse passa pelo ponto (0, 4). Substituindo esses valores na equação da elipse, temos:
0^2a^2 + 4^2b^2 = 1 implies 16b^2 = 1 implies b^2 = 16 implies b = 4

Passo 5

Agora, usando a relação entre a, b e c, substituímos c = 3 e b = 4 na fórmula c^2 = a^2 - b^2:
3^2 = a^2 - 4^2 implies 9 = a^2 - 16 implies a^2 = 25 implies a = 5

Resposta

A equação da elipse é:
x^225 + y^216 = 1

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