Calcular a distância entre as retas e r2:lx=t y=-1-3 t z=2 t
Resposta: d(A, r)=3raiz5
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço 3D. As retas dadas são:
r1: x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2t
e
r2: x = t y = -1 - 3t z = 2t
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre duas retas no espaço. Precisamos de vetores diretores das retas e de um vetor que vai de um ponto de uma reta para um ponto da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas. Olhando as equações paramétricas:
Para r1, o vetor diretor é v1 = (-1, 1, -2) (coeficientes de t).
Para r2, o vetor diretor é v2 = (1, -3, 2).
Passo 3
Agora, escolhemos um ponto em cada reta para formar o vetor entre elas. Vamos escolher t=0:
Em r1, quando t=0: P = (2, 3, 1).
Em r2, quando t=0: Q = (0, -1, 0).
O vetor que vai de P para Q é PQ = Q - P = (-2, -4, -1).
Passo 4
Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula:
d = |v1 times v2 cdot PQ||v1 times v2|
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v1 times v2.