Calcular a distância entre as retas r1:lx=2-t y=3+t z=1-2 t e r2:lx=t y=-1-3 t z=2 t
Resposta: d(A, r)=3raiz5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço 3D. As retas dadas são:
r1: x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2t
e
r2: x = t y = -1 - 3t z = 2t
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre duas retas no espaço. Precisamos de vetores diretores das retas e de um vetor que vai de um ponto de uma reta para um ponto da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas. Olhando as equações paramétricas:
Para r1, o vetor diretor é v1 = (-1, 1, -2) (coeficientes de t).
Para r2, o vetor diretor é v2 = (1, -3, 2).

Passo 3

Agora, escolhemos um ponto em cada reta para formar o vetor entre elas. Vamos escolher t=0:
Em r1, quando t=0: P = (2, 3, 1).
Em r2, quando t=0: Q = (0, -1, 0).
O vetor que vai de P para Q é PQ = Q - P = (-2, -4, -1).

Passo 4

Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula:
d = |v1 times v2 cdot PQ||v1 times v2|
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v1 times v2.

Passo 5

Calculando v1 times v2:
v1 times v2 = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = (1 cdot 2 - (-2) cdot (-3))i - (-1 cdot 2 - (-2) cdot 1)j + (-1 cdot (-3) - 1 cdot 1)k = (2 - 6)i - (-2 -2)j + (3 -1)k = (-4)i + 4j + 2k
Então, v1 times v2 = (-4, 4, 2).

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar desse resultado com o vetor PQ:
v1 times v2 cdot PQ = (-4)(-2) + 4(-4) + 2(-1) = 8 - 16 - 2 = -10
Pegamos o valor absoluto: |v1 times v2 cdot PQ| = 10.

Passo 7

Calculamos a magnitude de v1 times v2:
|v1 times v2| = raiz(-4)^2 + 4^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6

Resposta

Então, a distância entre as retas é:
d = 106 = 53

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