Determine condições sobre a, b e c devem satisfazer para que o vetor v=(a, b, c) seja combinação linear dos vetores u=(1,-3,2) e w=(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de combinação linear de vetores, que envolve montar e resolver sistemas de equações. Vamos precisar montar um sistema que relaciona , e com os coeficientes dos vetores e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que v = x cdot u + y cdot w é uma combinação linear de (a, b, c) = x cdot (1, -3, 2) + y cdot (2, -1, 1) e se existir números escalares (vamos chamar de e ) tais que:
Isso traduzido em componentes fica:

Passo 3

Vamos expandir essa equação para relacionar cada componente:
a = x cdot 1 + y cdot 2 b = x cdot (-3) + y cdot (-1) c = x cdot 2 + y cdot 1
Ou seja:
a = x + 2y b = -3x - y c = 2x + y

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar valores de e que resolvam esse sistema para dados , e . Se esse sistema tiver solução, então é uma combinação linear de e . Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Primeiro, da primeira equação:
a = x + 2y Rightarrow x = a - 2y
Vamos substituir na segunda e terceira equações.

Passo 6

Substituindo na segunda equação:
b = -3(a - 2y) - y b = -3a + 6y - y b = -3a + 5y Rightarrow 5y = b + 3a Rightarrow y = b + 3a5

Passo 7

Agora, substituímos x = a - 2 ( b + 3a5 ) x = a - 2b + 6a5 x = 5a - 2b - 6a5 x = -a - 2b5 na expressão de :

Passo 8

Agora que temos c = 2x + y c = 2 ( -a - 2b5 ) + b + 3a5 c = -2a - 4b + b + 3a5 c = a - 3b5 e em termos de e , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar se há alguma condição sobre , e .

Passo 9

A última equação nos dá uma condição que deve ser satisfeita por c = a - 3b5 , e :
Isso significa que, para que seja uma combinação linear de e , os valores de , e devem obedecer a essa relação.

Resposta

Os números , e devem satisfazer para que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e .

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